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摘要：本文详细叙述了运用椭圆型方程构造三维空间结构化网格的方法，并采用其为汽车CFD （computer fluid dynamic）分析生成了结构化的贴体正交网格。
关键词：CFD 贴体正交网格 椭圆型方程
1 引言
在汽车空气动力学中对于外流场计算时，其空间求解域数值网格的构造品质无疑对其计算速度、精度及收缩性都有着十分重要的意义。
1966 年，Winslow 首先采用Laplace 方程来构造网格，用这种方法构造的网格具有分布均匀，适应性强的特点。1970 年，Barfield W.D 提出了用变分法来构造网格的思想，即给出某种度量网格性质的泛函，通过求泛函极小构造网格。1971 年，由W.H.Chu 提出，F.Thomas 首次应用贴体坐标的概念。1974 年，Thompson 提出数值求解微分方程生成网格的方法，近年来这种方法也得到了广泛应用。1982 年，Brackbill J.U.和Saltzman J.S.给出了多种描述网格性质(正交性、光滑性、体积)的泛函文献。1988 年，Antonios E.G.提出了一种带方向控制的泛函来控制网格线走向的方法。
2 数值网格生成的理论基础
数值网格生成就是用数值方法在物理区域内建立一个适当的曲线坐标系，以坐标线相交形成计算网格，网格线光滑分布并与物理边界一致，在边界上网格线正交，并且网格线分布能自动适应物理解变化情况。实质上网格生成可视为一种坐标变换，即寻求笛卡尔坐标(X,Y,Z)和曲线坐标(x,h,z)之间的变化关系，把物理区域变换为计算域内一个或多个矩形(或长方体)区域。对于具有复杂形状的区域，可以采用曲线坐标系，并使物面与坐标系内某一坐标线(或面)相吻合，该坐标系可正交，也可非正交，网格的分布是否均匀，应视问题的需要而定。此外网格还可以设计为自动调节的，即所谓自适应网格。目前常用的数值网格生成的方法主要有三种：即代数法、微分方程法和保角变换法，其中又以代数法中的超限插值法和微分方程法中的椭圆型方程方法应用最为广泛。这两类方法各有其优缺点。概略地讲，用代数法生成网格比用微分方程法要快，一般用于区域对网格要求不十分精密的问题；但后者生成的网格比前者光滑，品质高，汽车外流场计算多采用此方法。本文采用椭圆型方程构造求解空间三维网格，并通过保角变化来保证网格线与物面边界的正交性。
3 数值网格的生成
3.1 参数空间的引入
首先考虑一个简单的三维空间域D，其笛卡尔坐标为X = (x, y, z)T ，假定空间域D 被六个面F1，F2，F3，F4，F5，F6 所包围，其中(F1，F2)，(F3， F4)，(F5，F6)为三组相对面，同时假定构成这六个面的十二条边为Ei{i=1,2,⋯,12}，如图1 所示。 （图片）
图1 计算空间到物理空间的变换 计算空间C为单位立方体；其笛卡尔坐标为（图片），假定映射（图片）定义了从物理空间D到计算空间C 的一对一对应关系，则：（图片） 为了构造映射（图片），不仅满足边界条件及其一一对应的关系，同时内部网格点也较好地与边界网格点的分布相适应。与二维椭圆网格一样，引入一个单位立方体的参数空间域P，其笛卡尔坐标s = (s,t,u)T 为，s, t, u 参数也要服从如下要求：（图片） s 是沿边E1，E2，E3和E4 的规一化弧长
t 是沿边E5，E6，E7和E8 的规一化弧长
u 是沿边E9，E10，E11 和E12 的规一化弧长
从前三个条件可有：
s(0,η,ζ)=0 和s(1,η,ζ)=1
t(ξ,0,ζ)=0 和t(ξ,1,ζ)=1
u(ξ,η,0)=0 和u(ξ,η,1)=1
参数空间P 中的坐标(s，t，u)由物理空间域D 中的十二条边界确定。同时计算空间C 中的坐标(ξ，η，ζ)也由物理域D的十二条边界定义，这样物理域D的十二条边界上每一个点都有唯一的(ξ，η，ζ)坐标和(s,t,u)坐标，这也就是可推得，在计算空间的单位立方体上十二条边界的每个(ξ，η，ζ)对应于唯一的(s，t，u)值。
3.2 代数变换
从计算空间C 到参数空间P 的映射服从代数变换规律，其变换关系可定义为：（图片） 以上变换仅仅依赖于物理域D 内的十二条边上网格点的分布，式(1)表明在x=常数的网格平面是作为一个双线性曲面映射到参数空间P，s 是t 和u 的双线性函数。同理式(2)中η=常数和式(3)中ζ=常数的网格平面也是作为一个双线性曲面映身到参数的空间P。对于给定的(ξ,η,ζ)坐标，其(s,t,u)的对应坐标在三个双线性曲面的网格交点上求得，因此，由式(1)~(3)所决定的变换可称为代数比性变换，与二维代数网格变换一样，在三维代数变换中，对于ξ为不同值的两双线性曲面在参数空间II 内是决不同相交的。同理对两不同的η值和ζ值也是如此，这样就可推论代数网格变换是可微的一对一变换。
由于映射（图片）预先要求，而映射s :C →P 又被代数双线性变换所定义，因而(s,t,u)的坐标就被物理域D 的全部边界定义，它们包括六个边界曲面F1，...，F6 的内部点。要求点(s,t,u)是物理域D 内的调和函数，即：（图片） (4) 这是一个在映射s :C →P 上的线性椭圆边界问题。这个映射是否一一对应的，仍是一个理论问题。
此外假定映射s :C →P 是一一对应，而因此逆问题s :C →D也就存在，这是一个椭圆型非线性偏微分方程组。当代数变换映射s :C →P 和椭圆变换的映射s :C →D 都假定为一对一映射时，其复合映射x :C →P 也是一一对应的映射，定义为x=x(s(ξ))。由于各映射的基本性质，可得到较好地反映边界网格点分布的内部网格。
3.3 基于复合变换的椭圆型方程网格
复合映射x :C →D 实际上是服从于泊松方程，其控制函数由代数变换s :C →P 所定义。这个带边界函数近似表达的三维椭圆泊松系统实际上就是前面所介绍的二维系统的延伸。
定义三维协变基矢（图片） 由下式（图片） (9) 有逆变基矢的协变表示式为：（图片） (10) 定义g2为协变度量张量的行列式矩阵。
对于任意函数φ=φ(ξ,η,ζ)，其中定义在物理域D 中的Laplace 方程可表达为：（图片） 分别将φ=ξ，φ=η和φ=ζ代入上式，就有（图片）的表达式。将式（11）内部求导后有（图片） 将φ = (s, t,u)T代入式(12)，注s,t,u 为物理域D 内的调和函数，即（图片），这样就可以得到ξ，η和ζ的拉普拉斯表达式：（图片） (13) 式中（图片） (14) 其中矩阵T 定义为：（图片） 这六个矢量（图片）的十八个系数，就是泊松系统中的控制函数，它们完全由代数变换关系（图片）计算。
最后将（图片）代入式(12)，并注意（图片），有（图片） (16) 将式(13)代入上式，交将逆变度量张量元素用协变度量张量元素表示，最后可表示为：（图片） (17) 其中：（图片） 和（图片） 方程(14)和(17)所定义的控制函数pkij 就构成了三维网格生成系统，通过求解这个非线性偏微分方程组就可得所求的网格坐标。
4 实际应用算例
本文应用实例为汽车空间贴体正交网格的生成。利用以上理论、方法，考虑到空气动力学仿真的具体要求，将车模放置于10 倍车身长度，4 倍车身宽度和4 倍车身高度的物理空间中。网格生成的数量和密度根据解题规模.计算机计算能力以及实际计算中的情况进行调整。图2 为车模表面网格，图3 为车模空间三维CFD 数值网格。（图片）
图2 车模表面网格 （图片）
图3 车模空间三维CFD 数值网格 参考文献
1 Tomas P.D, Lombard C.K., Geometric Construction Law and Its Application to Flow Computations on Moving Grids, AIAA J, 17:10, (1980), 1030-1037
2 P.R. Eiseman, High Level Continuity for Coordinate Generation with Precise Controls, J.Comput.Phys., 47(1982),331-335
3 Thompson, J.F., Numerical Grid Generation, North-Holland, New York, 1982
4 Thompson, J.F., F.C. Thames, C.W. Mastin, Automatic Numerical Generation of Body Fitted Curvilinear Coordinate Systems for Fields Containing Any Number of Arbitrary Two Dimensional Bodies, J.Comput.Phys., 15(1974), 299-319
6/18/2005
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