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摘要：综述了多种圆锥曲线直接插补方法的原理和算法,所论述的插补方法具有一定的推广性,为其它曲线的插补运算提供了参考方案。
关键词：圆锥曲线；插补；脉冲增量法；数据采样法
插补功能的多少是衡量计算机数控系统的一个重要性能指标，大多数的数控系统都可以提供直线和圆弧插补功能，但一般却没有圆锥曲线(椭圆弧、抛物线、双曲线)插补功能。对于此类曲线的加工，传统方法大多采用直线、圆弧和样条逼近来编制CNC加工程序实现，这样就不可避免地产生逼近误差和增大加工程序量，影响加工速度和加工精度，也增加了编程的难度和工作量。因此，数控系统最好具有圆锥曲线直接插补功能。本文作者将多种简单实用的圆锥曲线插补方法归结为两大类，并对各种插补方法的原理和算法进行了综述。
1 脉冲增量法
1.1 类圆弧插补法
仿照圆弧偏差函数的定义，恰当定义圆锥曲线的偏差函数，如定义双曲线的偏差函数为Fi＝b2x2i－a2y2i－a2b2，就可以仿照圆弧的插补方法，如逐点比较法、最小偏差法等，进行圆锥方法的插补，对此本文不作赘述。
1.2 复合插补法
利用直线和圆弧插补已经有成熟的方法，借助直线和圆的复合求出圆锥曲线。这就是圆锥曲线复合插补法的基本原理。复合插补法所得到圆锥曲线的插补误差为一与脉冲当量t有关的有限值，只要选取合适的脉冲当量值，就能把圆锥曲线的插补误差控制在所要求的精度之内。
1.3 比较积分法
比较积分法是在插补过程中不断地比较各坐标轴进给脉冲间隔的大小，根据比较结果进行脉冲分配的插补方法，又叫脉冲间隔法或目标跟踪法。即以速度快的轴为基础轴，插补过程中基础轴每次送一个脉冲，非基础轴根据公式判别是否送一个脉冲，通过改变动点坐标的瞬时值，使插补矢量始终指向曲线的切线方向，就可以得到各种圆锥曲线。
设圆锥曲线通用方程为
（图片） 当0
对式(1)求导后积分得（图片） 在数控技术中，x轴或y轴上的进给是以脉冲当量为单位的，即dx=dy=1。设曲线起点为P(x0，y0)，按矩形积分公式将式(2)写成近似求和形式，可得：（图片） 式中：A0、B0、ΔA、ΔB依曲线种类取不同值
比较积分法圆锥曲线插补综合了逐点比较法和数字积分法的优点，具有插补公式统一、插补精度高、运算简单、速度控制容易等优点。
1.4 改进最小偏差法
改进最小偏差法是在最小偏差法的基础上改进得到的，主要改进之处在于插补过程中根据曲线斜率的不同设定不同的侯选进给方向。在插补之前，首先根据曲线的斜率将其分成导数绝对值小于1的区间和大于等于1的区间，在｜y′｜＜1区，Δy＜Δx，当驱动x轴和y轴的步进电机步距相同时，x方向所增加的步数多于y轴方向增加的步数，故向x轴步进电机发出的进给脉冲要多于向y轴步进电机发出的进给脉冲，所以进给方向选为x方向及对角线方向；相反，在｜y′｜≥1区，Δy≥Δx，y轴所走的步数应当等于x轴所走的步数，进给方向选为y方向及对角线的方向。
用改进最小偏差法插补圆锥曲线，插补速度快，并且在同一个区间内，有一个方向的电机为恒速。插补误差小于或等于1个脉冲当量，可以通过减小步长的方法来满足精度要求。
1.5 最小误差法
对于加工方向确定的插补曲线上的一点，其可能的进给方向有3个，分别计算3个可能到达点相对标准曲线的误差，取误差最小的方向为实际的进给方向。这就是最小误差法的插补原理。
圆锥曲线的方程可统一用f(x,y)=Ax2＋By2＋Cx＋Dy＋E＝0表示，其一阶、二阶偏导分别为fx＝2Ax＋C，fy＝2By＋D，fxx＝2A，fyy＝2B，混合偏导和所有高于二次的偏导都为0。
根据泰勒公式有（图片） 比较｜fx｜、｜fy｜和｜fxy｜的大小，取最小值作为下一步的进给点，并根据新的点修改f（x，y）、fx和fy的值。最小误差法原理清晰，具有插补公式统一、插补精度高和速度快等优点。
2 数据采样法
数据采样法又称时间分割法，基本思想是按照给定的采样周期将时间轴分成等间隔的小区间，插补过程据进给速度、加减速要求和允许误差，在各采样周期产生空间小直线段ΔL1，ΔL2，…，ΔLi去逼近被插补曲线，逐步求得伺服控制所需的各插补直线段端点P1，P2，…，Pi的坐标值。插补计算的任务是在每一采样周期中，计算插补轨迹上当前点Pi的坐标值xi，yi，zi。根据其计算方法的不同，可分为以下4种方法。
(1) 直接法
当前插补点应该满足两个条件，一是插补点位于被插曲线上，该点的坐标应满足曲线方程，二是当前插补点与前一插补点之间的距离应满足进给速度等要求，根据这两个条件可得到由两个方程组成的方程组，解这个方程组，即可求得当前插补点的坐标。对圆锥曲线而言，这个方程组较为复杂，一般只有迭代法求解，计算费时，不适于实时插补。一种转化思路是通过曲线求交的方法计算插补点，即当前插补点是以上一插补点为圆心、以插补线段长度为半径的圆与被插曲线的交点。这种方法较之前一种方法简单，但交点的求取仍需要采用迭代的方法。另外是对问题作适当的近似处理，不要求插补点必须位于被插曲线上，只要求其在允许误差范围内的曲线附近，可快速求出当前插补点，适于实时插补系统。
(2) 圆心角分割法
圆心角分割法是利用它的弧长和圆心角的线性关系，通过对圆心角线性插补来进行圆弧的插补。将这个原理进行推广，找出圆锥曲线微小段和相应圆心角(或离心角)参数的近似解析关系，就可以利用同样的原理进行圆锥曲线的插补。
圆心角分割法的插补误差与曲线段各段的曲率半径、进给速率、圆心角变化量及插补周期等有关，对于曲率半径较小的曲线段可以通过采用低加工速率来提高其插补精度。
(3) 参数化方法
参数化数据采样插补法首先为被插曲线建立便于计算的参数化数学模型，其一般形式为：
（图片） 式中：u为参数量，u∈［0．1］。例如，对x-y平面第1象限椭圆插补，其轨迹计算公式的形式为x＝α(1－u2)/1＋u2，y＝2bu/1＋u2。在插补过程的每一采样周期中，首先根据进给速度、加减速要求和允许误差求出插补直线段长度，然后根据参变量对曲线弧长的变化率，求出该插补直线段对应的参变量增量，进一步通过对参变量的积分求出当前采样周期参变量的取值，将其代入上述参数化轨迹计算公式，即可计算出插补轨迹上当前点的坐标值。用参数化插补方法，插补点总在曲线上，没有累积误差。
(4) 神经网络方法
用基于神经网络的方法解决曲线插补问题已成为一个有重要意义的研究方向。
圆锥曲线插补可选用前馈神经网络进行建模，网络输入为上一插补点坐标和本次插补直线段长度，输出为当前插补点坐标。在使用之前先要对网络进行训练，对于离线训练好的神经网络插补器，曲线插补算法为：在第1个插补周期时，把曲线起点(x0，y0）和初始插补线段长度作为插补器的输入，于是在神经网络插补器的输出端可以得到第1个插补点的坐标(x1，y1)，将之锁存后输入到插补器的输入端，同时输入第2周期内的插补线段长度，在神经网络的输出端即可得到第2个插补点的坐标。依此类推，将神经网络的上一次输出和本次插补线段长度作为本次的输入，即可在输出端得到本次(当前)插补点坐标。
神经网络的插补原理和算法简单，适用性强，插补精度得到了提高。
6/5/2004
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