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摘 要：分析交流同步电机内部故障时，通常以单个线圈或线圈组为单位列写电机的数学模型，因此计算时需要求解复杂的时变系数矩阵微分方程。该文以绕组单个线圈电感表达式的分析为基础，结合电机定子线圈的空间分布，得到了同步电机电感矩阵的对称结构。通过分析这种对称结构，文中尝试构造了一个变换矩阵。通过变换矩阵的作用，可以将时变的电感矩阵转变为常系数矩阵，从而大大方便电机内部故障的仿真计算。文中还给出了各个互感矩阵的变换结果，然后举例说明了电机电感矩阵与系统电流电压方程的联接方法，并解释了仿真分析步骤。通过分析和计算进一步提出，在继电保护的整定计算等应用中，可以适当简化电感系数的求解，便于仿真方法的工程应用，并给出了简化前后的仿真结果。
关键词：同步电机；电感矩阵；矩阵变换
１ 引言
以分块矩阵的形式可以列写出交流电机的电压方程和磁链方程如下： （图片） 式中 下标“s”表示定子侧的量，下标“r”表示转子侧的量。
其中转子的自感矩阵[Lrr]是一个常系数矩阵。而由于电机转子的旋转造成气隙的变化，因此在其磁链方程中定子线圈自感系数矩阵[Lss]和定、转子线圈互感系数矩阵[Msr]与[Mrs]都是时变的，使方程的求解和分析非常困难。在分析正常电机的电流、电压特性等问题时，可以将电机的每一相绕组及转子上的励磁绕组、纵轴和横轴阻尼绕组分别作为一个整体来研究，则子矩阵[Lss]、[Msr]、[Mrs]和[Lrr]均是3×3的矩阵。根据电机绕组间电感的性质，可以利用Park变换将上述时变的电感矩阵转变成常系数矩阵，并且实现了定子矩阵的解耦，因此大大简化了方程的计算和分析，在工程计算和科学分析中得到了广泛的应用。
但是，当需要研究电机绕组内部故障的特性时，就不能再将电机的每一相绕组当作一个整体了。此时，以单个线圈为基本单位来分析电机具有更大的灵活性，在此基础上，“多回路分析法”[1]、“支路分解组合法”[2]等取得了良好的效果。
假设电机定子绕组共有N个线圈，则以单个线圈为基础的磁链方程中系数矩阵[Lss]是一个N×N的时变系数矩阵，当定子绕组线圈N很大时，将使电机方程的求解十分困难，因此在实用中必须采取一些简化措施。
如果能找到适当的变换矩阵，可以象Park变换那样把以单个线圈为基础的电机电感参数矩阵变换成常系数矩阵，就可以简化方程的计算，大大加快工程运算速度，并且有利于对电机内部故障的瞬态分析。本文在这方面进行了一些初步研究。
2 电机电感矩阵简介
为下面推导说明清楚，以下先介绍电机电感及其矩阵表达式。主要分析电机定子线圈自感系数矩阵，对于定、转子线圈的互感矩阵和转子线圈的自感矩阵仅作简要描述。
2.1 定子线圈互感表达式 （图片） 定子 线圈AA＇和BB＇的互感等于气隙磁场引起的自感系数加上漏磁引起的电感系数（图片） 式中 γ是以线圈AA＇轴线为基准的转子位置角； α是线圈AA＇和BB＇之间相隔的电气角度。
2.2 定子线圈互感矩阵
设发电机定子绕组共由N个线圈组成，逆转子旋转方向依次编号为0，1，...，N-1，如图2所示。一般而言，电机的绕组线圈节距相等，线圈沿定子内表面均匀分布[3]，相邻两线圈间的电气夹角为（图片） （图片） 设0号定子线圈与转子d轴的电气夹角为θ，则以第i号线圈为基准的转子位置角为γi=θ+1v；而线圈i与线圈g之间的电气夹角为αig=(g-i)v。
则（图片） 于是，根据定子线圈之间的互感表达通式(3)以及定子线圈的编号，就可以得出定子线圈互感的矩阵表达式，它同样是一个两重无穷级数形式，级数的每一项都是一个N×N的矩阵（图片） 通过分析可以发现，这个矩阵级数中的每一项矩阵的元素排列都具有一定的对称性。例如矩阵项[Mdkj]和[Mqkj]分别可以写成两个相同大小矩阵的对应元素相乘所形成的矩阵，再乘以一个常数的形式，以[Mdkj]为例，它可以写成（图片） 这里定义“*”号运算表示结果矩阵是与参加运算的两个矩阵同大小的矩阵，其元素等于参加运算的两个矩阵中的对应元素的乘积。而矩阵[S1]、[S2]可以写成如下形式（为书写简洁，将元素中相同的表达成份提出，写在矩阵之外）：（图片）（图片） 式中 [S3]、[S4]分别与[S1]、[S2]相似，不过各元素都是相应角度的正弦函数形式。
以上以定子单个线圈为基础分析得出了具有一定对称结构的定子电感矩阵。根据所研究的问题的具体情况，还可以将定子线圈按照空间排列顺序及串、并联关系划分成等距、等大小的线圈组，以这些线圈组为单位分析，从而达到减少矩阵阶数，降低仿真计算强度的目的。不过，以单个线圈为基础进行分析具有最大的灵活性。
对于定子线圈的漏感，主要包括端部漏感、槽漏感和匝间漏感等，它们与定子线圈间的相对位置有关。由于定子表面光滑，结构对称，因此当两个定子线圈相对位置一定时，其漏感相同，假定定子线圈自漏感为l0，逆转子旋转方向相邻两线圈的互漏感为l1，逆转子旋转方向相隔n个线圈的两个线圈的互漏感为ln-1，则漏感矩阵可以表示为如下的循环对称形式：（图片） 因此，如果能找到一种变换，能够将式(3)中的各个矩阵项变换成常数矩阵，则就可以将整个定子线圈电感矩阵变换成常数矩阵了。
2.3 定、转子线圈互感矩阵
根据研究的具体条件不同和所需计算结果的精度要求不一样，求电机定、转子间的互感系数时，可以将转子看作是励磁绕组、纵轴阻尼绕组和横轴阻尼绕组等几个集中绕组，也可以和定子绕组一样，从单个线圈着手。以下为讨论简便，将转子各绕组作为整体来讨论，对于由单个线圈电感推导的情形，可以将其分解成横轴分量和纵轴分量之和的形式，进而得到类似结论。由此，定、转子线圈的互感矩阵[Msr]是N×3的矩阵，而[Mrs]是它的转置矩阵：[Mrs]= [Msr]T。下面仅以励磁绕组与定子线圈的互感为例，经过推导可以得到，这个互感矩阵是一个单重无穷级数的形式：（图片） 级数中每一项均是N×1的列向量：（图片） 式中 Dfk为只与下标k有关的常数。
纵轴上其它绕组与定子线圈的电感与此类似，而横轴上绕组与定子线圈电感的每一项是正弦函数的形式。
3 变换矩阵及变换结果
3.1 变换矩阵及其特性
根据电机各电感矩阵的结构及对称性，参考文献[4]的结论，尝试构造如下的变换矩阵[P]：（图片） 式中 当定子线圈总数N为偶数时
n=(N-2)/2；当N为奇数时， n=(N-2)/2，此时，应将[P ]阵中最后一行删去。
对于一对极三相发电机，即p=1,N=3时，矩阵[P]就是派克变换矩阵的一种表达形式。鉴于电机定子绕组多由偶数个线圈组成，以下分析均以N为偶数为例，N为奇数的情况可以稍加修改得到。
容易证明，[P]-1=[P]T
以及（图片） 如果变换矩阵[P]能将电感各级数中的单项矩阵转换为常数阵，则它就可以将整个电感矩阵化为常数阵。以下就分析矩阵[P]对各个单项矩阵的变换结果。
3.2 定子漏感矩阵变换结果
将式(8)表示的定子线圈漏感矩阵施以变换[P][M0][P]-1，就可以得到一个常数对角矩阵，其对角元素表达式为（图片） 3.3 定子线圈互感矩阵变换结果
对式(6)所示的定子线圈互感矩阵项[Mdkj]施以变换[P] [Mdkj] [P]-1，容易推出，得到的是一个稀疏矩阵，只在第（2pk）行、第（2pj）列有一个非零常数，其值等于N/2·Cdkj,其余元素均等于零。
同样，对于式(7)所示的互感矩阵项[Mqkj]施以变换[P] [Mqkj] [P]-1，得到的也是一个稀疏矩阵，只在第（2pk+1）行、第（2pj+1）列有一个非零常数，其值等于N/2·Cdkj，其余元素均等于零。
将各个单项矩阵变换成常数矩阵后，就可以写出如式(5)表示的整个定子电感矩阵[Lss]变换后矩阵[P] [Lss] [P]-1，记为[Lssp]。变换后的定子电感矩阵是一个常数矩阵。由于双重级数中k和j不能随便取值，而是必须满足一定的条件[7]，因此变换后的常数矩阵也是一个稀疏矩阵。
从计算结果可以看到，常数电感矩阵中舍弃了(2pk+1)>N或（2pj+1）>N的矩阵项。根据文献[1，2]中的分析，当k或j增大到一定值以后，定子电感系数Cdkj和Cqkj的值很小；由于大型电机定子线圈数量一般较多，所以当满足(2pk+1)>N或（2pj+1）>N时定子电感系数Cdkj和Cqkj的值很小，可以忽略不记，而不会对分析结果产生明显的影响。
3.4 定、转子互感矩阵变换结果
还是以定子线圈与励磁绕组的互感矩阵为例，考虑式（10）中[Mfk]经变换后的矩阵[P][Mfk],经过简单的计算容易得出它是一个列向量，只在第(2pk)行有一个非零常数，其值等于（图片）其余元素均等于零。由此可以得到定子线圈与励磁绕组互感列向量式(9)变换后的向量也是一个常数列向量。
同理可以得出定子绕组与其它转子绕组互感列向量经变换后的向量，从而得到定子绕组与转子绕组互感矩阵[Msr]经变换[P] [Msr]后的常数矩阵[Msrp]。同理可以得到[Mrs]经变换 [Mrs][P]-1后的常数矩阵[Mrsp]。
3.5 结果分析
通过以上变换，将电机电感矩阵的各个部分变成了常系数矩阵。从以上的分析可以知道，变换矩阵［P］的推导，是完全基于电机定子线圈在空间上的对称分布的。因此，只要电机定子内表面是圆形，定子线圈沿圆周均匀分布，其线圈互感矩阵就满足第2节描述的对称形式，就可以用变换矩阵［P］通过第3节叙述的变换方式将其变换为常系数矩阵，而与定子线圈的连接方式无关。不同的定子线圈连接方式，如整数槽绕组还是分数槽绕组等等，只是在将基于单个定子线圈的矩阵计算结果转变为分支或相的电流、电压量时，有不同的变换方式而已，即只影响以下介绍的联接矩阵［T］。
4 电机仿真分析的实现
4.1 线圈电流、电压联接方程
以发电机为例，对图3中所示的单机-无穷大系统分析方法简述如下。为了叙述清晰简单，假设发电机每相有两个并联分支，每个分支共有4个串联线圈，如图4所示。其中A相第一分支A1的两个线圈a12和a13之间发生匝间短路，过渡电阻等于Rg。（图片） 在图4中，定义各线圈电流以从发电机中性点侧流向机端为正，电压正向为从中性点指向机端。则对于各支路电流有（图片） （图片） 其中联接矩阵[T]为（为书写简洁，以其转置矩阵的形式表达）（图片） （图片） （图片） 4.2 仿真分析方法
将式(13)代入电机电压方程和磁链方程式(1)、式(2)，并把方程式(1)中定子电压方程的两端乘以[T]T·[P]T，联立式(1)和式(2)，就得到对应图4 的定子绕组匝间短路电机方程（图片） 最后，根据发电机与电网的接线图3，列写机端到无穷大系统的电压、电流联接方程，求解出机端线电压，代入式(14)中，就可以解出电机的状态量了。对于其它类型的故障，如不同分支匝间短路、相间短路等，同样只要列出相应的定子线圈联接矩阵[T]代入式(14)就可以得到这种短路状况下的同步电机方程。因此，对于同一个电机，只要替换联接矩阵[T]，就可以分析各种不同的故障。
另外，需要注意，在上述讨论中，为了叙述清楚，联接矩阵[T]和电流电压向量中各线圈的排列方式与其电路串、并联顺序一致。而在实际应用时，矩阵中线圈的顺序应该如2.2小节中所述按照其空间位置排列，不再细谈。
当发电机定子内部发生故障后，不但有电磁暂态过程和各电量的变化，而且由于电磁功率等的变化，会造成机械暂态过程，因此在仿真程序中还应该加入转子的机械运动方程一起求解。在发电机定子绕组只有少量匝数的线圈故障时，为简化计，假设局部小匝数短路基本不改变发电机三相电动势的对称性，并假定在所讨论的故障后一小段时间范围内励磁电压和输入机械功率保持不变，因而转子仍然匀速转动，可以省略转子运动方程。
综上所述，故障条件下发电机仿真步骤为
（1）根据正常情况下发电机的有功、无功等条件，求出发电机机端电压、各分支电流（正常情况下同相各分支对称，例如对A相两分支有iA1=iA2），以及故障前发电机功角等电量。
（2）由式(1)、(2)求出各线圈故障前的电压、磁链；根据故障边界条件求解故障发生时刻的短路电流。
（3）由同相各分支电流相加求出机端相电流，带入电机与电网的联接方程中，求出新的机端电压。
（4）由新的机端电压和短路电流，代入式(14)中，求出下一步的各分支电流。
（5）将求出的分支电流代入步骤(3)中，重复步骤(3)~(5)，就可以得出故障后发电机机端和内部各电量的变化情况。
4.3 定子电感矩阵的简化考虑
发电机定子绕组的电感矩阵是一个时变的双重级数形式的矩阵，将其代入发电机的电压和磁链方程进行数值求解，每一步都需要计算电感矩阵的系数，并且还要求出它的逆矩阵，计算量是相当大的。对此一些文献提出了多种简化计算方法，例如忽略电感系数中二次谐波以上的项；电感参数计算时谐波磁通势只取有限项；避开电机故障的瞬态过程，仅在稳态条件下求解，因此可以不计各次谐波间的相互影响等等。而在文献[2]中采用了另一种简化方法：只计与第k次谐波磁势产生的第k次谐波磁密有关的主电感系数（即在式3中只取k=j的项），由此可以得出定子线圈（组）互感的简化一重级数表达式。
从定子线圈电感的推导过程中我们知道，严格说来，k次谐波磁通势会产生多种谐波的磁密，并且谐波次数满足一定的关系[1]。因此，在计算单个线圈的电感系数时，忽略第k次谐波磁势产生的其它次谐波磁密后计算主电感系数是不严格的，会对单个线圈的电感系数造成较大的误差。
但是，对于正常设计的电机，其相绕组一般都采用分布短距绕组，从而大大削弱了相绕组线圈产生的气隙谐波磁场。因此对于正常电机，可以不考虑气隙谐波磁场的影响，在理想电机的条件下进行分析。由此我们可以设想，在研究电机内部定子线圈故障时，对于考虑小匝数短路故障等情况，例如在讨论电机内部故障的继电保护灵敏度校验等时，在式(3)中忽略k≠j的项，是否也可以取得较好的近似效果？
文献[2]将这种简化求解方法应用于支路分解组合法中分析发电机内部故障，取得了良好的效果。通过这种简化，大大加快了仿真分析的计算速度，并且可以分析电机故障的瞬态过程。此外，在这种简化前提下，文献[2]还研究了如何利用电机的常用电气参数和实验参数求取电感矩阵中的各个系数，降低系数求解时对电机的详细结构参数的需求，这一点对于电机仿真分析方法的现场应用是非常重要的。
在式(5)表示的定子线圈互感矩阵的表达式中，忽略k≠j的项，就将互感矩阵简化成为单重无穷级数的形式。经过3.3小节的变换，同样可以变换成为常数矩阵，这里不再赘述。并且由于在[Lss]中只保留了k=j的项，因此在变换后的常数矩阵[Lssp]中只有对角线元素不为零，成为一个对角矩阵，这也意味着在简化的条件下，实现了定子电感矩阵的解耦。
5 仿真结果分析
针对一台大型水轮发电机的设计参数进行分析，其基本数据如下：
极对数p=40，定子槽数N=540，每相并联分支数=5，每一分支串联线圈数=36，额定功率=700 MW，极端额定电压=11.5 kV，额定励磁电流=3 533A，额定转速=75 r/min，额定功率因素=0.9，短距系数= 0.936，Xad=0.812 pu，Xaq=0.547 pu。
对上述凸极电机进行内部短路仿真分析，分别研究了几种不同的短路情况
（1）同相同分支匝间短路 分别计算了机端、中性点以及分支中段三种情况，短路匝数为7匝，占分支总匝数的19.44%。
（2）同相不同分支匝间短路 短路点匝数差为29匝，占分支总匝数的80.56%，是仿真计算的几种短路故障中最严重的一种。
（3）相间短路 A相一分支与B相一分支短路，短路点匝数差为5匝，占分支总匝数的13.89%。
分析仿真数据结果可以知道，电感系数简化前后对于分支电流和相电流的基波影响不大，一般在10%以下。
对于严重的故障如上述同相异分支80.56%的匝间短路，分支电流的误差大多仍在15%以下，最大为29.7%（对应的此时该分支电流很小，仅有0.037 pu）；而相电流最大误差为12.8%。
一般发电机内部故障主保护都只用到了定子电流的基波分量。对于保护的整定计算和校核，特别是在考虑定子线圈小匝数短路的情况时，上述误差是能够满足工程计算的精度要求的，因此这种简化方法是可取的。经过简化，不仅方便了定子电感系数的计算，大大加快了电压、磁链方程的求解过程，更重要的是，通过简化，可以大大减少计算定子线圈电感所需的发电机结构参数，方便了仿真程序的工程实际应用。
6 结束语
交流电机是电能生产及应用的基本设备，因此其仿真分析对于电力系统的科研和运行具有十分重要的意义。当电机绕组内部发生不对称故障的时候，必须深入到绕组内部，以单个线圈为基础进行分析。
本文在分析电机线圈电感矩阵的结构的基础上，提出了一个电机电感矩阵的变换矩阵及相应的变换方法。通过矩阵变换，将时变的电机电感矩阵转换成常系数矩阵，大大加快了仿真分析的速度，对交流电机内部故障瞬态过程的定量或定性分析均有较高的价值。
在此基础上，文中还讨论了在分析继电保护灵敏度等的应用中，如何简化电感矩阵计算，减少仿真分析所需的电机参数的方法。经过仿真结果的对比分析，验证了这种处理方法的有效性。
不失一般性，文中以凸极同步电机为基础进行分析，其分析方法和讨论结果对于隐极同步电机同样有效。由于隐极机的转子空间结构对称，因此其线圈的电感矩阵具有更强的对称性，因此对隐极机的分析可以更加简便。
4/19/2005
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