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均质滤料过滤过程的水头损失计算模型
景有海 金同轨 范瑾初
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摘要：将粒状材料组成的滤床抽象为由无数条毛细管道组成的管束,将过滤过程描述为水流在毛细管道中流动时的管壁吸附过程，从而推导出了均质滤料过滤过程的水头损失计算模型。
关键词：均质滤料；过滤过程；毛细管模型；水头损失
由粒状材料组成的滤床的过滤过程是一个极为复杂的过程，其水头损失还无法进行精确的计算。对于清洁滤层，可采用利瓦(Leva)公式或费尔-哈奇(Fair-Hatch)公式进行计算，但当滤层在过滤过程中被浊质堵塞后，因缺乏截留浊质在滤层中的分布规律，所以其水头损失还无法求得。虽然很多研究者提出了堵塞滤层的水头损失微分计算公式，但因缺乏滤层中比沉积量σ的分布规律，因而也无法计算。实际工程中往往是利用试验值或经验公式进行计算。
1 滤层中的水流流态
滤层中的水流流态，可用水流在粒状材料孔隙内流动时的雷诺数来判定。其定义为：
Re=ρul/μ 　(1)
式中 Re--水流在粒状材料孔隙内流动时的雷诺数
u --水流在粒状材料孔隙内流动时的流速
μ--水的动力粘性系数，Pa·s
ρ--水的密度，kg/m3
l --水流在粒状材料孔隙内流动时的水力半径
l为一特征长度，其定义如下：
l=ω/χ=ε/f　(2)
式中 ω --水流流动时的过流面积
χ -- 过流断面上与水接触的固体边界长度，即湿周
ε --滤床的孔隙率
f --滤层的比表面积
式(2)中f值按下式计算：
f=6α(1-ε)/de　(3)
式中de--滤料的当量直径
α --非均匀颗粒的表面形状系数，是其表面积与同体积球形颗粒表面积的比值
则雷诺数可表示为：
Re=ρul/μ=ρuε/μf=ρυ/μf=ρυde/6αμ(1-ε)(4)
根据敏茨的试验研究证明，当Re＜2.0时，其水流在滤层中的流态为层流。若取石英砂滤料的当量直径为de＝0.8mm，面积形状系数α＝1.25，滤料的孔隙率ε＝0.42，水的体积质量ρ＝1000kg/m3，水的动力粘性系数μ＝0.001Pa·s，则当水流流态为层流时，有：
ρυde/6αμ(1-ε)＜2.0
υ＜2.0×6αμ(1-ε)/ρde=0.0109m/s=39.2m/h
因此可认为：当滤速接近40m/h时，水流在滤层中的流动仍为层流流动。
2 滤层的毛细管模型
由粒状材料组成的滤床，内部有无数孔隙通道。水流通过滤层的过滤过程，就是水流在滤床孔隙内的流动过程。因此，可将滤床看成是有无数条毛细管道组成的管束，过滤过程就是水流在这些毛细管道中的流动过程。为了使水流在毛细管道中的过滤条件与实际滤床中的过滤条件相同，必须具备：
①毛细管道的总空间与滤床的孔隙相同；
②毛细管道的总表面积与滤料的表面积相同。
假设滤料的孔隙率为ε，其比表面积为f，并设毛细管的管径为dm，毛细管的管长与滤层厚度相同，单位面积滤池拥有毛细管数为n，则根据上述两个条件有如下等式：
ε=nπdm2/4　(5)
　f=nπdm2(6)
联解上两式，并将式(3)代入得：
dm=2εde/3α(1-ε)　(7)
联解上两式，并将式(3)代入得：
n=9α2(1-ε)2/πεdm2 (8)
式(7)和式(8)就是将滤池抽象为毛细管模型时的毛细管管径和单位滤池面积内毛细管数的计算公式。
3 过滤过程的水头损失计算模型
水流在均匀圆管内流动时，其摩阻损失可按达西公式计算：
Pf/γ=λlυ2/(d·2g)　(9)
λ为水流在圆管内均匀流动时的摩阻系数，它是雷诺数和管壁相对粗糙度的函数。当水流为层流时，λ只与雷诺数有关，即：
λ=f(Re)=64/Re　(10)
因此，可将式(9)应用到滤层的毛细管模型中计算过滤的水头损失。由于滤层中的流态为层流,所以,其阻力系统只与雷诺数有关。但因毛细管模型只是从滤层中抽象出的计算模型,并非实际圆管。因此,其阻力系数不能直接套用式(10)。现令：
λ=C/Re
按粒状材料过滤的统计学规律考虑，滤层的水头损失可表示为：
P/γ=η/γ·ρu2/l·L(11)
敏茨通过对粒状材料过滤的大量试验，得出滤层在层流状态下对低浓度水进行过滤时，其阻力系数为：
η=5.1/Re′　(12)
式中Re′为按滤层的水力半径计算的雷诺数，其计算公式为：
Re′=ρul/μ　(13)　
当按滤层的毛细管模型计算其雷诺数时，其计算公式为：
Re=ρudm/μ 　(14)
将式(11)按圆管流的达西公式形式表示可为：
P/γ=η/γ·ρu2/l·L=(２ηdm/l)·（L/dm）·(u2/2g)　(15)
因此有：λ=C/Re=2ηdm/l　(16)
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所以可得出：C=10.2×42=163.2，因此，其毛细管模型的阻力系数可表示为：
λ=163.2/Re
水流沿滤层流过ΔL厚度，相当于水流沿毛细管流过ΔL长度，其水头损失为：

（图片）

对于清洁滤层，当滤层为均质时，整个滤层的α、ε、de 均为常数。因此，整个滤层的水头损失为：

（图片）

式中　α0、ε0、de--清洁滤层的表面形状系数、孔隙率和当量直径
从式(20)可以看出，清洁滤层的水头损失与滤速和滤层厚度成正比，而与滤料当量直径的平方成反比。因此，采用粗滤料过滤将有助于减小水头损失。
当滤池截污后，滤层因截留悬浮物而使孔隙率减小，相当于毛细管管径减小。设单位体积滤料的截污体积量为σ(m3浊质/m3滤料)，则单根毛细管单位长度上的截污量为：　
σd=σ/π(m3/m)　(21)
毛细管管径将因截留浊质量而由dm0减小至dm，有：

（图片）

称β为毛细管的管径收缩系数。
对于恒速过滤，由于毛细管管径缩小后管内流速将增大，根据流体的连续性方程，有：
π/4·dm02·u0=π/4·dm2·u
u=u0(dm0/dm)2=u0/β2=υ/(ε0β2)
此时的雷诺数为：
Re=ρudm/μ=ρu0βdm0/μβ2=ρu0dm0/(μβ)=Re0/β
因此，滤层截污后，ΔL厚度滤层的水头损失为：

（图片）

式(24)和(25)即为本文推导出的均质滤料毛细管模型水头损失计算公式。
4 堵塞滤层的水头损失
根据理论分析和过程推导，堵塞滤层中的比沉积量沿滤层深度的分布规律为：

（图片）

式中 D -- 浊质的扩散系数，包括布朗运动扩散和水力扩散
B -- 浊质的剥离系数，它与被过滤水的混凝特性有关。混凝效果好,则B值小，否则B值大。采用高分子混凝剂时，其B值就远小于采用硫酸铝作混凝剂时的B值
z --从滤层表层算起的滤层深度
v --滤速
c0--滤池进水浊度
式(26)和(27)的理论推导本文从略。将式(26)代入式(25)可计算出堵塞滤层的水头损失。因积分：

（图片）

Kt代表滤层因浊质堵塞后水头损失的增加系数，显然，它是滤层表层比沉积量σi的函数，也就是时间t的函数。因此，堵塞滤层的水头损失为：

（图片）

堵塞滤层的水头损失是过滤时间t的函数。也就是说，堵塞滤层的水头损失等于清洁滤层的水头损失乘以滤层因浊质堵塞使水头损失增加的系数。由于过滤过程的复杂性，使得水头损失增加系数Kt的计算公式较为复杂，此式可用于分析过滤过程中的水头损失增长成因和变化规律，它的进一步简化将留待以后进行。
参考文献：
1 许保玖，安鼎年.给水处理理论与设计[M].北京：中国建筑工业出版社，1992.
2 康士坦丁诺夫 Ю M.水力学[M].钟用升译.江西高校出版社，1990. 3/21/2005

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