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曲面虚拟加工建模与应用
杨林 晏蔚光
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摘要　提出一种关于曲面虚拟加工几何学和运动学问题的建模方法，并给出渐开线圆柱齿轮齿面虚拟加工以及误差分析的应用实例。
关键词：虚拟加工　曲面　建模
1、引言
机械加工过程是用机、电、光等加工手段形成所要求的零件表面形状的过程。加工不同类型的表面，可以选择使用不同的加工机床，对于复杂曲面，通常采用多轴数控机床。随着数控机床在制造业中的普遍使用，大大地提高了机械加工精度和对产品的适应能力。但是，对于复杂形状零件的加工，数控编程和反复的试切又制约着机床使用效率，增加了制造成本。
在未来制造技术中，虚拟制造成为其重要组成部分。人们可以在虚拟环境中观察、评估、修改制造过程，减少在线程序修改和试切时间，从而缩短和改善真实制造过程。实现虚拟制造的核心技术是产品与制造过程的建模和仿真，本文研究曲面虚拟加工建模方法及其应用技术。
2、虚拟加工建模
虚拟加工是针对不同的加工要求，根据实际加工情况建立数学模型，采用适当的仿真方法模拟实际加工的过程。从几何学和运动学的角度看，机械零件的加工表面是刀具相对于工件实现特定运动所包络产生的表面。关于这方面的研究，以往一般侧重于分析刀具和被加工表面的曲面特性及运动关系而忽视机床结构，因此，研究结果只对一些简单曲面具有直观可操作性。
笔者认为，模拟曲面加工时，应将机床结构形式、机床参数及机床带动刀具和工件相对运动关系一并考虑，这样才能够描述和分析各种复杂曲面在某类机床上的实际加工过程，以实现虚拟加工的要求。
对于任何一种机床，都可以根据其运动部件之间的关系抽象出它的基本结构，通常表现为空间开链机构。我们可以用解决空间机构问题的有关方法来描述该机床结构，建立起数学模型。空间开链机构是机器人普遍采用的结构，对其运动学和动力学问题已经进行了大量研究。机器人运动学研究机器人末端手部相对于固定坐标系或相对于某运动物体的位姿、速度、加速度等。在机器人机构分析中一般采用矩阵法，首先在各构件上建立坐标系，然后推导坐标变换矩阵，利用坐标变换矩阵可以在固定坐标系或某特定坐标系中描述机器人末端手部的位置和姿态，以及速度和加速度。在本文中，机床结构的末端是刀具，工件固定在工作台上并随其静止或作某种运动。用上述方法，可以建立机床结构坐标系和运动分析矩阵，用来描述刀具与工件的相对位置和运动关系，进而模拟现实加工过程。
建立了机床的基本结构和数学模型之后，关于曲面加工的几何学和运动学问题就转化为刀具曲面和工件曲面相互之间的共轭和包络问题。与一般曲面研究不同的是，该数学模型中包含了机床结构类型及参数，使得我们不但可以分析研究被加工表面本身的特性，还可以研究机床各参数对加工的影响，对加工过程进行解析和数值仿真，优化加工参数，辅助或自动生成数控加工程序。
3、应用实例
以加工圆柱齿轮为例，虚拟加工建模过程。
3.1　结构方案
普通滚齿机的结构已众所周知，这里提出一种新的机床结构方案，如图1所示，在结构中，滚刀架可沿Z0轴上下移动，以实现轴向进给，还可以倾斜，以改变安装角，并能沿Zt轴移动，以实现对刀或切向进给；滚刀绕滚刀轴Zt旋转；工作台可沿Y0轴水平移动，以实现径向进给，并可以带动工件绕垂直轴Zw旋转。滚刀绕Zt轴的转动与工件绕Zw轴的转动形成滚切运动。数控滚齿机的滚切运动由数控系统控制。该机床结构可采用两轴、三轴和五轴数控系统，受控制的轴越多，机床的加工能力越强，并且操作的可适应性越强。
3.2　数学模型

（图片）

图1　机床结构简图

在图1中，坐标系S0（x0y0z0）建立在床身上，坐标系St（xtytzt）建立在滚刀上，坐标系w（xwyxzw）建立在工件上。在坐标系St中，描述滚刀切削刃的表达式随着切削刃形状的不同而不同，一般可表示为：

（图片）（1）

工件齿轮的被加工表面在Sw坐标系可表示为：

（图片）（2）

将向量Rt、Nt和Rw及Nw变换到S0坐标系中，即
Rt00＝［RXt00，RYt00，RZt00，1］T＝MrtRt （3）
Nt00＝［NXt00，NYt00，NZt00，1］T＝MntNt （4）
Rw00＝［RXw00，RYw00，RZw00，1］T＝MrwRw （5）
Nw00＝［NXw00，NYw00，NZw00，1］T＝MnwNw （6）
在上式中，Mrt、Mnt是从坐标系St变换到S0的坐标变换矩阵，Mtw、Mnw是坐标系Sw变换到S0的坐标变换矩阵。
在滚切加工时，滚刀与工件的相对运动类似于一对螺旋齿轮的啮合，因此它们应满足啮合方程：
Rto＝Rwo （7）
Nto＝Nwo （8）
NtoVr＝（） （9）
式(9)中，Vr是滚刀加工表面与工件被加工表面的相对运动速度。

（图片）

式(7)～(9)也是滚齿机机构的运动控制方程。
3.3　算例
例1：虚拟加工一渐开线圆柱直齿轮，被加工齿轮参数如下：模数m＝2，压力角α＝20°，齿宽b＝10　mm，齿数Z＝25。考虑齿廓修形，修形曲线满足下式：

（图片）

式中
ΔS0——齿顶处修形的最大值
ra——齿顶圆半径
r0——分度圆半径
图2为用数值仿真方法虚拟加工的结果，图2a是齿轮横截面齿廓，图2b是轮齿齿廓的修形曲线放大图。

（图片）

图2　齿轮修形图
(a)修形齿轮的横载面　　(b）修形齿廓

例2：齿轮加工误差是由机床、刀具、齿坯以及安装误差造成的。利用已建立的虚拟加工模型，可以对各有关因素的影响做定量分析。几何偏心是齿轮加工中的典型误差源，下面给出关于几何偏心引起的周节累积误差的分析结果。齿轮参数同例1。
表1为几何偏心e＝14μm时的齿距角偏差计算机仿真数据，由表1数据计算出周节累积误差ΔFD＝14．87　μm。
表1

（图片）

图3为按表1数据画出的误差曲线，从图中可以看出周节累积误差是以齿轮一转为周期的大周期误差。表2列出按周节累积误差确定的与不同齿轮精度等级对应的几何偏心允许值。参考上述计算结果，可以定量控制几何偏心来满足对加工精度的要求。对其他控制，同样可以得到相应的结果

（图片）

图3　误差曲线

表2
齿轮
精度等级 几何偏心e的允值（μm）
5 14
6 24
7 32
4　结束语
建模与仿真是实现虚拟制造的核心技术，建立曲面虚拟加工数学模型时，必须考虑并引入机床结构类型及有关参数。在此基础上，可以对加工过程进行数值仿真，研究各参数对加工过程的影响，进行误差分析，优化加工参数，辅助或自动生成数控加工程序，缩短和改善真实制造过程。 5/10/2004

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