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摘要：针对快速原型制造系统中广泛采用的立体光造型 (STL) 标准本身的近似性给切片后所带来的固有误差，通过分析、比较常用的几种离散点序列拟合方法，结合快速成型系统的特殊性，提出了一种切实可行的拟合方案及其实现原理，并已成功地应用于系统中。
关键词：快速原型制造；立体光造型(STL)；拟合
1、拟合方案的比较
对离散点的拟合方式多种多样，如参数样条拟合、圆弧样条拟合和带有给定切线多边形的B样条拟合等。但由于快速原型制造技术(RPM)中切片数据点极其特殊，在此只讨论一种适合于RPM技术中切片数据特性的拟合算法。
a. 用最小二乘法进行拟合
设已知 n 个数据点 (xi, yi)(i=0, 1, …， n-1),则(m-1)次最小二乘拟合多项式为
pm-1(x)=a0+a1x+a2x2+…+am-1xm-1， m≤n 且 m≤20。
这种方法中方程的最高次数（m-1）难以确定，如果选择不当，方程就无解。
b. 用直线、圆弧和均匀B样条组成的组合曲线进行拟合
由于RPM技术中切片后的离散点有时可能分布极其不均匀，相邻弦长相差悬殊，弦线短的那段就会因两端点的切矢模长与弦长相比过长而变得太臌，甚至出现多余的双拐点或奇点（尖点、二重点）。在尖点处不仅曲率不连续，切线方向也是不连续的。
c. 用直线、圆弧和非均匀无理B样条组成的组合曲线进行拟合］
这种拟合方式能精确还原原始制件的直线和圆弧部分，对可能出现椭圆弧等其他二次曲线的情况也能利用抛物线很好地解决，而对其他任意复杂曲线用自由曲线B样条也可很好地逼近，而且抛物线与三次B样条分别有一阶和二阶连续，光滑性好。
d. 用非均匀有理B样条（即NURBS）曲线进行拟合］
NURBS曲线是建立在B样条的基础上，既保留了其描述自由型形状的长处，又扩充了其统一表示二次曲线弧的能力。但是NURBS目前还存在一个较大问题，就是权因子的不合适应用可能导致很差的参数化，从而使得拟合结果严重失真。
通过比较，选择方案 c，即采用直线、圆弧和非均匀无理B样条组成的组合曲线进行拟合。
2、拟合算法原理及实现
2.1 拟合元素的确定
现有切面如图 1 所示，由5个环（含外环）组成，分别以①，②，③，④ 和 ⑤表示。拟合后环①由直线a、圆弧b、三次B样条c和抛物线d组成；环②为一个整圆；环③为一个三次B样条闭合曲线；环④完全是由抛物线拟合；环⑤由4段直线组成。考虑到计算速度，若三次B样条型值点过多，可分成几段B样条来拟合。 （图片）
图 1 拟合元素示意图 2.2 拟合过程
根据STL文件本身的形成特点和精度范围，结合快速成型系统所要求的制造精度，发现切片上的各个多边形环或多或少存在一些冗余点。为减少计算量和增加拟合过程的稳定性，首先需要过滤掉这些冗余点，找出特征点进行拟合。
根据计算，当两点之间的距离大于15 mm时，其原始形状很可能就是直线，不用考虑拟合；当两直线之间的转角超过一定角度后，拟合误差较大，尤其是采用三次B样条时，计算量非常大，时间上也不允许出现反复，因此有必要把它先期分开。上述就是拟合前分段的判据条件，由此把环先大概分成几段，再分别对各个段进一步拟合。
现有某待拟合段为平面多边形 abcdefhijklmno，如图 2 所示。对每个顶点除了给出 (x,y) 坐标外，另有一标识 flag［3］数组，其中 flag［0］=1 表示在圆弧上，flag［1］=1 表示在样条上，flag［2］=1 表示在两个圆弧相交处，其初始值均置为 0。整个拟合过程如下 (ε1 和ε2 为所要求的精度范围):（图片）
图 2 任意待拟合段 a. 提取abc三点确定一圆弧 A1，并得到其相关参数，如圆心坐标、半径 R和起始与终止位置等。计算圆弧上所有相临点的弦高 δ2，若 δ2≥ε2，则标记 ab 两点为样条，以b点为起点，重复上述过程，直到出现符合误差范围要求的圆弧。现假设有圆弧abc。
b. 计算后续点d到圆弧abc的圆心的距离L，并求得偏差δ1=|L-R|，若δ1≥ε1，则标记abc三点为圆弧，以c点为起点，重复步骤a；相反则以bcd三点确定一新圆弧A2，计算其δ2。
c. 判断圆弧A2 是否满足条件：圆弧上所有点在包络线±ε1内，且δ2＜ε2。若不满足，则同样标记abc三点为圆弧，以c点为起点，重复步骤a；若满足则继续。
d. 判断a点是否在包络线ε1内，若否，则标记ab两点为样条，bcd三点为圆弧，重复步骤b；若是，则以ab两点及其中间点确定另一圆弧 A3，计算其δ2。
e. 判断 A3 是否满足条件：所有点在包络线±ε1 内，且δ2＜ε2。若否，则标记ab两点为样条，bcd 三点为圆弧，重复步骤 b;若是，则标记 abcd 四点为圆弧，重复步骤 b。
f. 对切平面上所有环的预先分段进行扫描，找到每个圆弧段（或整圆），判断其夹角大小和弧长，若二者均小于某经验值，就将这（些）圆弧段上的点重新标记为样条，以便在不影响精度的前提下使拟合元素相对比较集中，并最大限度地发挥样条在型值点愈多时所体现出来的优越性，同时也提高了快速原型系统的加工速度和加工连续性。
上述步骤中用到的具体点只是为了阐述方便，实际拟合时是不断向后变化的。
3 应用结果
本方案已成功地应用于快速成型系统——分层实体制造系统（LOM）中，实践表明加工的制件精度明显提高，失真变形显著降低，表面更加光滑，而且加工时间大大缩短，因而此方案是切实可行的。图 3 和图 4 用实例显示了两种拟合方案的拟合效果对比情况。显然，均匀样条拟合时存在明显误差，而应用非均匀样条拟合时可以精确地通过型值点，即切片后得到的离散点系列。（图片） （图片）
图 3 均匀样条拟合 图 4 非均匀样条拟合
1/6/2005
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