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摘要：为了研究齿轮固有频率的影响因素，改善齿轮的动态特性，利用有限元软件ABAQUS和振动理论对齿轮进行模态分析，结果表明：第1~6阶，齿轮的振型主要是弯曲振动和扭转振动，在同阶的情况下，弹性模量越大，齿轮的固有频率越大，腹板的倒角越大，齿轮的固有频率越大，为齿轮动态优化设计提供可靠的参考依据。
减速器是原动机和工作机之间的一个独立闭式传动装置，用来降低转速和传递转矩，在工作过程中，减速器中的齿轮可能会由于机械振动而发出噪音，这样可能会降低齿轮的啮合精度和传递效率，从而影响减速器的使用寿命。
模态分析可以确定零件的固有频率和振型，使设计师在设计零件的时候，尽量使系统的工作频率和固有频率偏差较大，以防止共振，从而减少振动和噪音。模态分析的最终目标是识别系统的模态参数，为系统的振动特性分析、振动故障诊断和预报以及结构动力特性的优化设计提供依据，是结构动态设计及故障诊断的重要方法。
本文利用有限元软件ABAQUS，对减速器中的齿轮进行模态分析，来确定不同阶数下齿轮的固有频率和振型，通过选择不同的材料以及齿轮的腹板倒角，来分析齿轮固有频率的变化趋势，从而为齿轮大的结构优化提供参考依据，避免齿轮在工作时候发生共振，从而减少噪音。
一、有限元模态分析理论
对于一般的多自由度结构系统而言，运动都可以由其自由振动的模态来合成。有限元的模态分析就是建立模态模型进行数值分析的过程。由于结构的阻尼对其模态频率及振型的影响很小，所以模态分析的实质就是求解具有限个自由度的无阻尼及无载荷状态下得运动方程的模态适量。系统的无阻尼多自由度的自由振动系统方程为：
（图片） 式中质量矩阵[M]和刚度矩阵[K]均为nxn阶方阵，位移列阵{x}为nx1阶列阵。把(1)式写成位移向量的形式为：（图片） 应用线性变换式{x}=[u]{y}，可以对集合位置坐标{x}表示的耦合系统微分方程组解耦。因此，振型在坐标变换和解耦系统中发挥着重要的作用。为了得到振型的矩阵[u]，必须求得系统的特征值和特征向量，即系统的固有频率和振型向量。为此，假定系统的振动是由频率的简谐振动组成，设{X}为{x}的位移幅值和振幅列阵或振幅向量，Φ为初相位，则系统运动方程是的形式为：（图片） 对其求导得：（图片） 把(4)式代入(1)式，消去因子，整理的系统的特征矩阵方程为：（图片） 为满足上面的矩阵方程，必须使括号中的矩阵行列式等于零，这就是特征方程式即(6)式（图片） 从特征方程杰出特征值，特征值的平方根就是系统的固有频率。将系统的固有频率代入(5)式，所求的幅值矩阵{X}即为振兴向量{u}。
二、建立有限元模型
1.齿轮建模
根据减速器的输出功率要求，得齿轮的参数为：齿数z=26，模数m=3，齿形角a=20°，齿厚d =20，齿轮的其他参数通过计算和工具书获得，利用软件Pro/ENGINEER建模，并把齿轮模型导入到ABAQUS中，进行模态分析。
2.齿轮边界约束
对齿轮进行模态分析的主要目的是获得齿轮不同阶下的固有频率和振型，因而不需要对齿轮进行加载，只需要对其自由度进行约束，根据齿轮的工作条件，对齿轮进行约束，选取齿轮的内表面作为约束对象，对齿轮的内圆柱面和键槽面x，y和z方向的平动位移进行约束，由于模态分析低阶频率对于动的影响远大于高阶频率，故取齿轮模态分析前6阶的固有频率和振型。（图片）
图1 齿轮模型 3.齿轮网格划分
对齿轮进行网格划分，最大整体尺寸为2，几何次数选择线性摄动，选取单元类型为四面体单元C3D4。
三、有限元结果分析
1.材料的影响
选择不同的材料，进而材料的弹性模量和泊松比及密度不同，本文中选择的材料分别为：灰口铸铁、球墨铸铁、铸钢、碳钢和合金钢，材料的弹性模量依次逐渐变大。通过仿真结果查看不同材料对于齿轮固有频率的影响，因为低阶频率对于结构的振动影响较大，所以仅取了仿真结果的前6阶模态分析结果，图2是齿轮的振型图以及最大位移振动变化，由于不同材料的振型图较多，故只选取材料为合金钢的齿轮的2、4和6阶振型图作为示意。
（图片） 利用振型图可以很直观地分析齿轮的振动形态，并发现齿轮振动的薄弱环节，进而可以对齿轮进行优化，从而避免齿轮发生共振，减少齿轮工作时的噪音。在低阶情况下，通过分析不同材料齿轮的前6阶振型图，可以发现齿轮的振型主要为扭转振动和弯曲振动，齿轮的阶数越高，则振动的位移越大，齿轮振动越剧烈，噪音越大。表1是不同材料的齿轮在不同阶下的固有频率，并将数据绘制成曲线图，如图3所示。（图片）
图3 不同材料与固有频率的关系 曲线图3表明：在阶数相同的情况下，齿轮的固有频率和材料是存在一定关系，材料的弹性模量越大，则在该阶下材料的固有频率越大，所以在同阶数的工作频率下，齿轮发生共振的概率越小，从而减小齿轮振动的噪音，增大了传递的效率，延长了齿轮的使用寿命，为齿轮的动态优化设计提供可靠理论基础。
2.结构的影响
下面来研究结构对于齿轮固有频率的影响：齿轮的材料为合金钢，结构的改变主要是通过对齿轮的腹板进行倒角，通过倒角大小的不同来分析齿轮固有频率的变化规律。该仿真中腹板倒角的范围为C1~C5，由于振型图较多，下图4是选取齿轮的倒角C5时的2、4和6阶振型图作为示意，通过振型图可以看出齿轮的振型主要是扭转振动和弯曲振动，振型图反映了齿轮的振动特性和薄弱环节，可以为设计者提供参考依据。（图片） 改变齿轮腹板结构，通过改变齿轮模型的倒角大小，来查看不同的齿轮结构对于齿轮的固有频率的影响，在齿轮铸造时候，可以作为腹板倒角的参考依据，选择合理的倒角大小，进一步减轻齿轮的振动，减少齿轮振动时候的噪音，也可以作为齿轮优化的参考依据。
从曲线图5表明：在阶数相同的情况下，齿轮腹板的倒角越大，则齿轮的固有频率越大。随着阶数的增加，齿轮的固有频率会呈现递增的趋势，这一结论特点可以作为齿轮参数优化的依据。在进行齿轮腹板倒角的时候，可以适当选择倒角大小，避免齿轮发生共振，从而减少振动的噪音，提高齿轮的传递效率。（图片） （图片） 上述曲线和图形表明：
(1)齿轮的固有频率与齿轮的材料有关，在相同阶数的情况下，齿轮材料的弹性模量越大，则齿轮的固有频率越大;
(2)齿轮的固有频率和齿轮的结构有关，在相同阶数的情况下，齿轮的腹板倒角越大，则齿轮的固有频率越大;
(3)齿轮的低阶振型主要为扭转振动和弯曲振动，阶数越高，振动位移越大，振型图可以看出齿轮的薄弱环节，从而可以进行齿轮优化，为设计者提供参考依据。
四、结束语
模态分析可以用来确定齿轮的固有频率和振型，从而为齿轮设计和深入研究提供可靠的理论依据，通过振型图可以直观地发现齿轮振动的薄弱环节，从而为齿轮的设计和维护提供可靠地依据。
通过ABAQUS进行模态仿真分析，既可以为齿轮设计者提供可靠的、有意义的参考依据，也可以对齿轮的结构参数进行优化，提高齿轮在传递过程中的精度和传递效率。
1/16/2011
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