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| 基于COMSOL Multiphysics的结构形状优化 | |
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结构优化主要包括结构的拓扑和形状优化。拓扑优化方法可以在没有特定初始拓扑的情况下得到的结构最优拓扑，而形状优化在结构拓扑不变的前提下优化结构边界的精确形状。相对于形状优化，拓扑优化的优势在于可以给出结构的最优拓扑和边界的大致形状。形状优化作为拓扑优化的后处理过程，对于最优结构的精确描述仍然非常重要。拓扑优化方法通常采用隐式法表述结构边界的位置，而形状优化方法一般采用显式法确定结构边界的具体位置以及设计变量的参数化表示。中科院长春光机所刘震宇研究员利用COMSOL Multiphysics中的移动网格技术成功实现了面积约束条件下的二维刚性结构形状优化问题。
形状优化基本原理
近年来，形状最优化设计已经引起了人们广泛的关注。形状优化一般通过改变表述边界位置的设计变量来提高目标函数的表现。工程问题的形状优化主要有两种方法，Lagrangian方法和Eulerian方法。前者是通过边界上的控制点和插值函数来表示结构形状，后者是将设计区域嵌入到一个规则的虚拟区域中进行优化设计。Eulerian方法的优点在于结构边界在变化过程中不需对网格进行更新，缺点在于优化结果受到虚拟材料区域的影响。而Lagrangian方法是通过改变真实边界的位置来实现优化，所以在工程设计中得到广泛采用。基于有限元数值解的形状优化已逐渐成为一种成熟的设计手段应用于工程优化问题。在优化过程中，将离散的边界网格节点作为优化设计参数，边界的网格节点位置在优化过程中需要不断进行更新。由于优化分析中只定义了边界节点的移动速度，为保证结构整体离散网格的协调性，结构区域中网格节点的移动需要额外的定义。所以在设计过程中对网格进行调整甚至重新划分是形状优化中的一个重要的步骤。移动网格法是一种动态网格调整方法，其数值实现基于移动网格偏微分方程。在网格拓扑保持不变的情况下，通过网格节点的移动来适应结构边界的变化。在偏微分方程的有限元自适应求解中，目前较普遍采用的方法包括h型、p型和r型自适应求解方法。移动网格方法属于r型自适应求解方法。相比于h和p型自适应求解方法，移动网格方法比较复杂，数值实现难度更大。为了保证数值求解的稳定性，需要高精度的瞬态求解器。在众多的有限元计算软件中，COMSOL Multiphysics中ALE模块提供了解决上述问题的一个便捷途径。
典型的二维优化模型
形状优化可以表述为对目标函数求极值的约束问题。形状优化的主要步骤之一是获得目标函数的下降方向。在结构设计中，结构的应变能是进行刚性结构设计经常采用的目标函数之一。本文以二维悬臂梁刚性最大化问题为例，利用移动网格方法实现形状优化。针对优化模型，首先利用目标函数和约束条件确定拉格朗日泛函并通过计算泛函的变分获得边界节点的敏度。通常在结构边角以及边界条件改变的位置敏度的数值误差比较大，可能导致边界位置的较大移动和离散网格畸变。为了解决这个问题，可根据具体情况调整在边角以及边界条件改变处的灵敏度值（图1）。如何在优化过程中保证求解区域内部网格的规则性以及区域边界的光滑性一直是数值结构优化的难点。当结构边界位置变化较小时，每个迭代循环后可在保持边界节点位置不变的前提下对每个网格内部节点进行光滑处理（图2）。如果优化形状相对于初始形状有较大的改变，仅通过网格内部节点光滑不能保证网格质量，这就需要在保持结构边界位置不变的前提下进行网格的重新划分来同时获得高质量的区域边界和区域内部网格（图2）。 （图片） （图片） （图片） （图片） （图片） | |
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