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问题的由来
镦粗和拔长是自由锻造最基本的工序，各种锻件中的绝大部分都是以拔长工序为主完成最终成形的。
将圆形截面的坯料拔长锻或矩形截面的长条类锻件也是自由锻造中的常见工序，如何根据锻件最终要求的矩形截面尺寸来选择拔长初始坯料直径是至关重要的工程实际问题。
如果原料直径选择偏小，可能导致最终锻出的矩形截面尺寸达不到要求，这样一来，在无法采取镦粗修复的情况下就要全面报废；如原料直径选择过大，又可能会把本该一火锻成的锻件需经多次加热、锻造才能完成，势必造成极大的资源浪费，使生产成本提高。
长期以来，这个问题一直困扰着在锻压生产一线工作的工程技术人员。在2005年的5月间，一位从金属塑性成形专业（即锻压专业）大学本科毕业後已经工作了10 年的某锻造厂厂长仍亲自来和本文作者探讨此类问题，并为在校所学锻造成形理论的苍白无力而慨叹。
计算公式的研讨历史
为了根据锻件矩形截面的几何尺寸（B、H）求得拔长初始坯料直径（D）的计算公式，首先应该研究圆形截面坯料在平砧间拔长过程中的变形规律，很多前辈学者都为此付出了努力。
理论研究表明，影响拔长锻造展宽的因素很多，完全可以基於经典的数学和力学理论，导出具有一定通用性的、可以定量使用的截面变换计算公式是很困难的，因而，为了满足解决工程实际问题的需要，仍然不得不使用经验公式。
近30年来，在我国几种有影响的专业技术期刊上，发表过很多介绍有关经验公式的文章。在此不再一一列举，下文将先来分析这些公式的使用效果如何。
现行计算公式的使用效果
坯料在拔长过程中会发生展宽和伸长，这两种变形不仅使拔长後的坯料截面面积减小，也可以使截面形状按预定要求进行变换。目前理论书籍中最为流行的截面变换经验计算公式如表1。 表1 拔长过程坯料截面变换经验计算公式
（图片）数十年的生产实践表明，公式3-1和3-2是完全实用可靠的，它已经得到了业内人士的普遍认可，几乎成为每一位在锻造生产一线工作的技术人员和中、高级锻造技工必备的基本常识。
但公式3-3却是不能尽如人意的，可以举例试用一下：
如要拔长锻造一个矩形截面尺寸为B1=100mm，H1=50mm的长条扁钢锻件，试求拔长初始的圆钢坯料直径D1应是多少？则：（图片） 如要锻造另一个稍薄的同类锻件，B2=100mm，H2=48mm，该使用多大的圆钢来拔长呢？则：（图片） 那麽，现在可以对比这两个范例。两锻件的截面厚宽比H/B之差仅为0.02，但计算出的拔长初始坯料直径却相差29.2mm。如以D1为基础直径，则相对差异为26％；若以D2为基础直径，相对差异竟达35.4％。
这种计算结果显然对工程实践失去了指导意义，是不能被公式使用者所接受的。也正因如此，才出现了前文所提及的各种各样、不同版本的计算公式。
笔者推荐的计算公式
在几何学中，正方图形只是矩形、即扁方图形的一个特例（H=B），而在拔长过程中，截面从圆形到正方形的变换却是已有成熟规律可循的，即公式3-1。
认真观察图1可以发现，拔长後能够锻出的最大正方形截面恰恰就是初始坯料截面圆的内接正方形，即，这正好在公式3-1的计算幅度之内，二者是吻合的。（图片）
图1 圆和内接正方形 图中，用金属材料剖面符号表示的上、下、左、右四块面积相同的弓形到哪 去了呢？其实，它们是在拔长过程中，经不断的90°翻转送进和砧块在坯料两向的等量压下中，以伸长变形的方式消失了。
依此类推，如果在每次翻转後采用两向不等的压下，逐渐消除两向不等的弓形部分，自然就会把初始的圆形截面变换成两向长度不等的矩形。
按照这种设想，使用多次重复作图、逐渐逼近的方法，可得到与既往都不相同的计算公式：（图片） 对推荐公式的讨论
公式4-1是一个二元初等函数，按一定的赋值方法，汇出其二维图像。
函数的图像是连续的。这表明此计算公式的数学表达式符合“初等函数在其定义域内应该处处连续”的基本法则，满足了“必要与充分”的要求。
用此公式对表1所列各种技术文献举出的实例和作者本人在多年生产实践中记录下的数据，共74组进行了验算，计算结果表明：
此公式对锤上锻造和小型水压机上的自由锻造完全适用。参照这个计算结果选用拔长坯料的初始直径是安全的，不会发生因最终锻出的矩形截面尺寸达不到要求而使锻件整体报废的事故。
如果锤上锻造时采用顺砧拔长（拔长送进方向与砧块长度方向一致）和使用特殊工具（开板）等工艺措施，计算结果可能还较大，偏於保守。
在大型水压机上锻造宽厚板的生产实例很少，可以参照的数据有限。验算表明，用此公式的计算结果偏小，误差在10％左右。此误差也小於用公式3-3的计算结果。
但应指出，宽厚板锻造要先对钢锭镦粗後再拔长，拔长的初始坯料并不是规整的圆柱体，而是多棱钢锭倒棱镦粗後带有鼓肚的异形体，拔长初始坯料直径D是怎样测定的？是否和本文中所谈的D含义相同？对此，在有关文献中并无表述。
3. 对此公式进行最基本的数学演算，可以求得计算拔长展宽的公式：（图片） 由此公式可以看出，拔长的最大展宽应该出现在厚度很小（H→0）的情况下，如设H=0，则：（图片） 这个纯数学结论是否可供工程实践中参考？有待进一步的验证和斟酌。
此处也特别提醒，和单向压下的轧制变形不同，锻造拔长是对坯料进行两向压下变形後完成的，因而它的展宽是有限的。不管锻件厚度H怎样小，它也必须是一段能够构成矩形的直线，这是进行验证的前提。
结论和寄语
在生产实践中，锻造温度、拔长时的压下量和送进量、坯料的材质及截面形状、锻锤或水压机的吨位及砧块尺寸、甚至砧块的磨损程度和翻转送的操作方法，都会影响拔长锻造的展宽量，即B=f（x1, x2, ……, xn）。
严格地讲，研究这种复杂的工艺过程，应该在大量实验的基础上使用现代数学的概率统计、回归分析等方法，但本文推荐的公式并不是这样求得的，它仍然只是一个经验公式。随着计算机技术的飞速发展，相信必将会有更多与金属塑性成形有关的软件被开发出来，用於工程实际问题中的计算和定量分析，尽量减少或不再使用传统的“经验公式”。
2/1/2010
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