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摘要：由于NURBS曲面、曲线构造的复杂性，描述NURBS曲线、曲面必然采用复杂的数据结构，这样给人—机交互带来很大的困难。本文利用VC＋＋编写的NURBS曲线、曲面造型系统可以实时观察曲线、曲面的控制点、节点信息，可以实时对控制点、节点进行诸如添加、修改、删除等操作，这对NURBS曲线曲面造型无疑会带来极大的方便。
关键词：NURBS，造型。
1 NURBS曲线、曲面造型方法
1．1 NURBS曲线方程
一条p阶NURBS曲线被定义作： （图片） 式中：｛Pi｝——控制点(形成控制多边形)；
｛ωi｝——权因子；
｛Ni，p（u）｝——p阶B样条基函数，其节点矢量为：
U＝｛a，…，a，up＋1，…，um－p－1，b，…，b｝
除非另述，一般假定a＝0，b＝1及对于所有的i都有ωi＞0。
令：（图片） 则NURBS曲线方程还可写作：（图片） 1．2 NURBS曲面方程
u向p阶、v向q 阶的NURBS曲面定义为：（图片） 式中：｛Pi，j｝——构成曲面控制点网；
｛ωi，j ｝——权因子；
｛Ni，p（u）｝、｛Nj，q（v）｝——p阶、q阶B样条基函数，其节点矢量为：
U＝｛0，…，0，up＋1，…，ur－p－1，1，…，1｝
V＝｛0，…，0，vq＋1，…，vs－q－1，1，…，1｝
这里，r＝n＋p＋1，s＝m＋q＋1。
令：（图片） NURBS曲面方程还可写作：（图片） 2 NURBS曲线、曲面的数据结构
NURBS曲线的属性信息有：次数k，控制点d，权因子w和节点矢量U。NURBS曲面的属性信息有：次数k、l，控制点di，j，权因子wi，j和节点矢量U，V。能否管理好NURBS曲线、曲面，取决于能否对这些属性信息进行有效的组织和管理。而要对曲线、曲面进行方便、有效的管理和计算，良好的数据结构是必不可少的。
NURBS曲线、曲面数据结构图如下：（图片）
Nurbs数据结构图 （图片）
Nurbs曲面数据结构图 这种数据结构形式具有如下几个优点：
(1)运算灵活，便于修改；
(2)易于检索、提高运算速度；
(3)结构简单、便于维护。
3 曲线、曲面数据结构的编程实现
不难看出，上述曲线、曲面数据结构均为双链表结构，并且链表内还包括若干个双链表，如控制点链表、节点链表等。传统的用C语言实现的双链表结构突出的缺点是不直观，编程比较复杂。因此本文采用VC＋＋指针类型的集合样板类实现这种双链表结构，使得对链表中节点的插入、删除和修改非常直观。
3．1 用VC＋＋表示的NURBS曲线的数据结构：
class Curve｛
public：
int CurveNo； ／*曲线号*／
int k； ／*曲线次数*／
ControlPointCP； ／*控制点指针*／
KnotVectorKV； ／*节点矢量指针*／
｝
class ControlPoint
｛
public：
int VertexNo； ／*控制点序号*／
double Vertex［3］； ／*控制点坐标*／
double Weight； ／*控制点权因子*／
public：
void FormatControl（CString＆ str）；
｝；
class KnotVector
｛
public：
int KnotNo； ／*节点序号*／
int Multiplicity； ／*节点重复度*／
double KnotValue； ／*节点值*／
public：
void FormatKnot（CString＆ str）；
｝；
3．2 用VC＋＋表示的NURBS曲面的数据结构
class Surface
｛
ControlPoint*Up；
ControlPoint*Vp；
KnotVector*KU；
KnotVector*KV；
｝
3．3 用VC＋＋指针类型的集合样板类实现双链表结构
我们以控制点链表为例，说明如何用VC＋＋指针类型的集合样板类CTypedPtrList来实现双链表结构。
typedef CTypedPtrList＜CPtrList，ControlPoint＞MyTypedPtrList；
MyTypedPtrList ControlPointList；
那么ControlPoint__List为一个空的双链表。我们可以用CtypedPtrList类中的成员函数AddTail()、RemoveTail()、InsertBefore()、InsertAft-er()、GetNext、GetPrev等对表中的数据进行添加、插入和删除等操作。
例如向表中添加一个控制点：
ControlPoint*pControl＝new ControlPoint；
pControl－＞VertexNo＝m_VertexNo；；
pControl－＞Vertex［0］＝m_Vertexx；
pControl－＞Vertex［1］＝m_Vertexy；
pControl－＞Vertex［2］＝m_Vertexz；
pControl－＞Weight＝m_Weight；
ControlPoint_List．AddTail（pControl）；
如果插入一个控制点：
ControlPoint_List．InsertBefore（pos，pControl）；
如果删除一个控制点：
ControlPoint_List．RemoveAt（pos，pControl）；
因此用VC＋＋指针类型的集合样板类CtypedPtrList对双链表进行操作简单、直观，不容易出错。其它链表均可照此处理。（图片）
图1 控制点对话框 4 控制点、节点的可视化实现
为了能够实现对控制点、节点链表实时进行插入、删除和修改等操作，将这些操作同对话框联系起来。也就是说，对对话框上控件的操作，就相当于对控制点、节点链表进行相应的操作，从而使对控制点、节点链表实时进行插入、删除和修改等操作的过程可视化。
我们以控制点链表和对话框之间的联系为例，说明利用VC＋＋实现控制点链表的插入、删除和修改等操作过程的可视化。
(1)建立如图1所示的对话框，对话框中有按钮Add、Insert、Update、RemoveAt、RemoveAll，可对控制点链进行操作；有组合框可显示控制点链表中的数据；
(2)建立与对话框相联系的类CmodifierVertex，同时编写与按钮相关的成员函数OnAdd（）、OnInsert（）、OnUpdate（）、OnRemoveAt（）和OnRemoveAll（）；
（3）将控制点链表中的数据在组合框中显示出来。以添加操作为例，VC＋＋代码如下：
void CModifierVertext：：OnAdd（）
｛
∥TODO：Add your control notification handler code here
if（UpdateData（）！＝TRUE）
return；
ControlPoint*pControl＝new ControlPoint；
pControl－＞VertexNo＝m_VertexNo；；
pControl－＞Vertex［0］＝m_Vertexx；
pControl－＞Vertex［1］＝m_Vertexy；
pControl－＞Vertex［2］＝m_Vertexz；
pControl－＞Weight＝m_Weight；
ControlPoint_List．AddTail（pControl）；
AddToListBox（pControl）； ／*将数据添加到组合框*／
｝
这样无论何时按系统菜单Modifier中的下拉菜单Vertex，都会看到控制点的数值、个数，为造型提供参考。
5 实例
利用可视化方法建立NURBS曲线、曲面造型系统，对哈尔滨制氧机厂加工的叶轮进行三维实体造型，并通过VC＋＋调用OpenGL图形库中的函数对其进行渲染，完成后如下图2所示，同时提供数控加工数据。（图片）
图2 叶轮的NURBS造型 6 结论
(1)运用VC＋＋指针类型的集合样板类CtypedPtrList处理双链表的新方法，使得对双链表的操作变得简单、直观；
(2)由于造型过程的可视化，使设计者可随时按要求修改、插入和删除控制点、节点而达到设计要求。
** 博士学科点专向科研基金（资助号：98021332）资助项目。
作者单位：哈尔滨工业大学机电学院 哈尔滨 150001
参考文献
1 Les Piegl Wayne Tiller．The NURBS Book，1995
2 Ori Gurewich，Nathan Gurewich．精通Visual C＋＋2．0 for Windows95．学苑出版社，1995
3 Microsoft Corporation．Visual C＋＋2．0 for win32大全(二)——用MFC和win32编程.清华大学出版社，1996
4 孙家广等.计算机辅助几何造型技术.清华大学出版社，1988
5 Jackie Neider，Tom Davis，Mason Woo．OpenGL Program-ming Guide．Addison Welsey，1993
6 Silicon Graphics，Inc．OpenGL Refrence Manual．Addison Welsey，1993
12/7/2004
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