）；ωh—液压固有频率；ζh一阻尼比（图片）
A—液压机控制腔有效面积；βe—液压油的体积弹性模量；m—活塞和负载的总质量；vo—液压机控制腔初始容积；B—系统阻尼系数（由工作辊轴承座与机架侧壁摩擦及油缸中活塞与缸体壁摩擦所决定）。
2）伺服放大器。可简化为比例放大环节，用Ka表示。
3）位移传感器。也可简化为比例放大环节，用Kf表示。
4）伺服阀。在液压系统中，伺服阀能把小的电信号转为大功率的液压能（流量和压力）输出，所以它的性能的优劣对系统的影响很大，因此，电液伺服阀应具有较高的快速性，可以按二阶振荡环节处理，其传递函数为：（图片）
Kv—伺服阀流量增益；ζv——伺服阀阻尼系数；ωu—伺服阀无阻尼自振频率。
各参数值取自北京科技大学国家高效轧制工程中心的400mm双机架可逆冷连轧机液压压下系统的技术参数，得相应的传递函数。
1）控缸传递函数：（图片）
2）伺服放大器Ka＝4×10-3
3）位移传感器Kf＝1000
4）伺服阀传递函数：（图片）
由上述计算，得APC系统的开环传递函数：（图片）
闭环传递函数：（图片）
3 系统中参数不确定性的分析
液压缸是液压伺服系统的动力机构，是其核心部分，液压缸的结构参数变化对系统有非常重要的影响，直接关系着整个系统性能的好坏。
液压缸的结构参数主要有：惯性质量Mt；液压缸活塞的直径D；伺服阀和液压缸之间的连接油管的长度L和直径d；液压缸工作腔容积Vt，它与活塞行程和液压缸直径以及连接油管的体积有关。
伺服阀和液压缸之间的连接油管对系统的影响主要通过两个方面，油管中的油液质量折为惯性质量和连接油管的体积折算为液压缸工作腔容积。油液折算质量和油管折算容积的大小取决于连接油管的长度和直径。
液压缸的活塞直径D是液压缸所有结构参数中最为重要的，它对系统有着直接而显著的影响。首先，液压缸活塞直径必须满足系统上作压力和压下速度的要求，同时，它的大小还与系统的内部功率消耗有关；其次，活塞直径D的大小还直接决定止作腔容积的大小。
另外，液压油温度的变化会直接影响到油的弹性模量，将直接对系统的固有频率和阻尼系统产生扰动。
由此可以看出，各个参数的影响最后都直接或间接的决定着液压缸自身的特性（液压缸固有频率和阻尼系数）。因此分析液压缸固有频率和阻尼系数的参数扰动对系统性能的影响，直接决定了系统的稳定性、响应速度，影响到生产的顺利进行和产品的质量。
4 H∞控制
对于反馈控制系统（图3），其中，x为系统的状态，z为可控输出，y为测量输出（观测信号），ω为外部干扰输入，u为控制信号。G（系统的给定部分）和K（有待于设计部分）分别表示广义受控装置和鲁棒控制器。（图片）
图3 反馈控制系统
考虑如下的三个闭环传递函数：S＝（1＋GK）-1，（图片）
通常S和T分别称为灵敏度函数和补灵敏度函数。S表征了系统输出相对于干扰输入的灵敏度。T则是对乘性摄动（I＋Δ）G中允许摄动Δ幅度大小的度量，而R是对加性摄动（G＋ΔG）中允许摄动ΔG幅度大小的度量。
加权的灵敏度标准框架为：（图片）
则由（7），（8）构成的闭环系统传递函数为：
（图片）
混合灵敏度的提法是：寻找真实有理函数控制器K，使得闭环系统稳定，且满足（图片）
5 控制稚定性能比较及结论
仿真过程中，适当的选择加权函数非常重要，根据规则，经反复试验引入加权函数：
（图片）
由Matlab工具箱的H∞优化函数hinfopt（）易解得鲁棒H∞控制器。在H∞控制器作用下，可以得到无参数摄动时其闭环系统的阶跃响应曲线（图4）。现采用常规的PI控制，取Kp＝100， Ti＝0.1，得系统的阶跃响应如图4。（图片）
图4 H一控制与PI控制时系统阶跃响应的比较
从图4中可以看出，系统在无参数摄动情况下，H∞控制和常规的PI控制的效果相差不多。
但是，我们主要研究双机架轧机液压控制系统对参数摄动的抑制作用。现采用H∞控制，对轧机液压系统的阀控缸、伺服阀的阻尼系数、控制腔的面积等参数的无变化，变化10%，20%，30%得到的阶跃响应曲线如图5。而后采用常规PI控制，取Kp＝100，Ti＝0.1时，在同样的参数条件变化下，得系统的阶跃响应如图6。（图片）
图5 H∞控制下系统的参数变化时阶跃响应曲线
（图片）
图6 PI控制下系统的参数变化时阶跃响应曲线
从图5和图6看出。当系统参数发生变化时，在常规PI控制下，系统的阶跃响应调整时间变长，超调量变大，鲁棒稳定性能变差。而在H∞控制器作用下，系统的鲁棒性能仍然很强。
现在采用LQG控制。众所周知，LQG控制是线性系统控制器设计的一个重要方法，然而，当系统存在模型参数变化和外部干扰信号时，它所设计的控制器会使系统性能变坏，甚至出现不稳定，对本系统，采用LQG控制。取Q＝diag{1040，1，0.5，1，1}，R＝0.00001，借助LQG软件包易得控制器。在无参数摄动时，图7是系统在H∞控制与LQG控制下的阶跃响应比较图。
（图片）
图7 H∞控制与LQG控制时系统阶跃响应的比较
从图7看出，对于本液压系统，LQG控制要比H∞控制的效果还要好。而参数的扰动是任何系统都不可避免的，现在对轧机液压系统的阻尼系数、固有频率、控制腔的容积等参数变化10%，20%时得到的LQG控制下阶跃响应曲线如图8。（图片）
图8 LQG控制下系统的参数变化时阶跃响应曲线
由图7和图8可以看出，尽管木系统在LQG控制下具有很好的稳定性，但其对参数的变化非常敏感。随着参数的变化，系统不再稳定。
综上仿真结果可以看出，H∞控制器对于抑制系统参数变化等不确定性具有非常好的鲁棒性，适当的选择加权矩阵，可以更好的改善轧机液压系统的跟踪性能，响应时间更快，从而使系统的性能达到更佳。
9/16/2009
