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直齿圆柱齿轮是机械传动中的重要零件，其齿根应力的大小将直接影响轮齿的承载能力和寿命?，因此齿根的弯曲应力计算是齿轮强度设计的重要内容。通常对齿根应力大小的分析是用理论公式进行计算，但理论公式比较复杂，还要查一些修正值，因而使用起来非常繁琐；如果用SolidWorks的插件COSMOSWorks对轮齿弯曲应力进行仿真分析，不仅其仿真值与理论计算值十分接近，完全满足机械设计的要求，而且分析非常便捷，从而为齿轮的优化设计提供参考依据。
1 问题的提出
已知一对标准直齿圆柱齿轮传动，传递功率P=-4kW，Z1=30，m1=960r／min，Z2=90，大小齿轮材料皆为40Cr，小齿轮表面淬火HRC40~56，大齿轮调质处理，硬度HBS300，试分析大齿轮的齿根弯曲应力。
2 直齿圆柱齿轮齿根弯曲应力计算的数学模型
计算轮齿的弯曲应力时，通常将齿轮看作是一个宽度为b的悬臂梁，如图1所示。因此，齿根处为危险截面，它可以用30°切线法确定：作与轮齿对称线成300角并与齿根过渡曲线相切的切线，通过两切点平行于齿轮轴线的截面，即齿根危险截面。 （图片）
图1 齿根危险截面 为了简化计算，假设全部载荷由一对轮齿来承担并作用在齿顶上，同时不计摩擦力的影响。沿啮合线方向作用于齿顶的法向力Fn，可分解为互相垂直的2个分力：FncosαF和FnsinαF。前者使齿根产生弯曲应力σb和切应力τ，后者使齿根产生压应力σc。与弯曲应力σb相比，切应力τ和压应力σc均很小，故计算时不予考虑。轮齿长期工作后，受拉侧先产生疲劳裂纹，因此齿根弯曲疲劳计算应以受拉侧为计算依据。齿根最大弯曲应力
3直齿圆柱齿轮三维建模
尽管利用SolidWorks设计库里"Toolbox＼ISO＼动力传动、齿轮"的模块，可以快速地生成齿轮的三维模型，但生成的齿廓曲线不是标准渐开线，显然对其轮齿进行有限元分析精度很难得到保证。简单的方法是利用CAXA电子图板里的齿轮绘制模块，首先按照表1输入齿轮的齿数z、模数m、齿顶高系数h*、顶隙系数c*和变位系数x等参数后，生成标准渐开线齿形图，将其另存为dwg或dxf格式文件，然后在SolidWorks中打开上述文件，在"DXF／DWG"对话框中，选择"输入到新零件(P)"按钮，单击"完成"，即可生成齿轮草图，最后进行"拉伸"(齿宽为45mm)和"拉伸，切除"(齿轮安装孔直径为40mm)，完成齿轮的三维建模，如图2所示。
（图片）
图1 齿轮三维建模 （图片） 4 基于COSMOSWorks的齿根应力分析
齿轮三维模型建成后，就可直接在SolidWorks中单击"COSMOSWorks管理程序"按钮，对齿轮进行有限元分析。COSMOSWorks齿根应力分析步骤如图3所示。（图片）
图3 齿根应力分析步骤 4.1建立一个静态分析项目
在"COSMOSWorks管理程序"里，右键单击"齿轮"图标，在弹出的菜单中选择"算例"，"网格类型"选择为"实体网格"，"类型"选择为"static(静态)"，单击"确定"按钮完成算例项目的创建。
4.2 定义齿轮材料
单击"应用材料到所选零部件"图标，弹出的"材料"属性管理器，在"选择材料来源"栏中选择"自定义"，根据表2输入各项参数，"模型类型"选择为"线性弹性同向性"。
4.3定义约束
单击"约束"图标，弹出的"约束"属性管理器，选择约束"类型"为"固定"，选择图2中的齿轮键槽面为约束面。
4.4施加栽荷
为了在齿顶上施加啮合力，需在齿轮实体上建立一个过齿顶线且与基圆相切的基准面，然后单击"载荷"图标，弹出"力"属性管理器，在"类型"上选择"应用力、力矩"，在"力的面、边线、顶点"上选择齿顶线，在"方向的面、边线、基准面、基准轴"中选择上述基准面，在"沿基准面方向1"中设置力的大小为1882．41N(法向力大小计算见4．2节)，在"沿基准面方向2"和"沿基准面方向3"中不设置力的大小，单击"确定"按钮，完成载荷施加。
4．5划分网格
单击"网格"图标，弹出的"网格"属性管理器。COSMOSWorks可根据零件情况自动划分网格的形状及大小，这里采用四面体单元格，网格大小为8．36mm，误差为0．418mm，共划分33788个单元格，54383个节点。
4.6分析计算
以上参数设置完成后，单击"运行"图标，系统开始分析计算并弹出运行进展显示框。由于COSMOSWorks采用独有的快速有限元技术(FFE)和精确计算技术，其分析计算的速度比较快。静态分析运行成功后，COSMOSWorks将在管理器中生成"结果"文件夹，含有"应力"、"位移"、"应变"和"变形"等图标。
4.7 结果显示
轮齿应力分布云图如图4所示，图形的颜色变化反映了齿轮内部应力的分布情况。从图中可以看出，最大应力发生在轮齿受拉侧的齿根处，为97．2N／mm2；而在轮齿的另一侧，齿根处受压，最大压应力为-22．6N／mm2，显然远小于拉应力，故轮齿受拉侧先产生疲劳裂纹。
（图片）
图4 轮齿应力分布云图 5齿根弯曲应力的理论计算
5.1齿轮工作转矩的计算
由于齿轮传递功率P=4kW，n1=960r／min，则齿轮工作转矩T1为：T1=9550000P/n1
将已知数据代入式(2)求出T1=39800N·mm。
5．2齿轮啮合时法向力R的计算
根据齿轮传动的平稳性可知，齿轮在啮合过程中，法向力R的大小与方向不变，因而轮齿在齿顶处的法向力可由节点处的法向力求出。
Fn=2T1/d1cosa(3)
式中：a为分度圆压力角。将T1和已知条件代入式(3)，得Fn=1882．41N。
5．3验算轮齿弯曲应力及讨论
查表得Yp=3．75(Z=90，x=0)，ψd=1，为了与COSMOSWorks仿真条件相同，这里不考虑载荷集中和动载荷的影响，即Kβ=1，Kv=1代入式(1)得齿根处最大弯曲应力σF=98．3N／mm2。而COSMOSWorks的仿真值为97.2N／mm2，误差为1.1％。这说明：①仿真结果是正确的；②在齿根弯曲应力的理论计算中，将轮齿假设为悬臂梁，采用300近似法确定齿根处的危险截面是合理的，完全满足机械设计的要求；③由于理论值略大于仿真值，因此理论计算是略偏于安全的。
上述计算与仿真都是假设全部载荷由一对轮齿来承担，即重叠系数εa=1，根据重叠系数计算公式（图片） 可知，实际重叠系数占εa=1.75，这表明，在轮齿转过一个基圆齿距的时间里，两对轮齿同时啮合的时间占75％，此时齿根处的最大应力为48.6N／mm2，即97.2/2N／mm2；而一对轮齿啮合的时间占25％，此时齿根处的最大应力为97．2N／mm2，因此在轮齿啮合过程中，齿根处最大应力达97．2N／mm2只占整个啮合时间的1／4。
6 结论
通过齿根弯曲应力的有限元分析，为齿轮的强度设计提供了参考依据，也对齿轮的进一步优化设计提供重要的指导意义。由于COSMOSWorks具有操作简单，运算速度快和计算精度高等优点，而且分析的模型与结果与SolidWorks共享一个数据库，从CAD到CAE无需进行转换，因此在机械零件的设计中有着广泛的应用前景，也是机械设计人员必备的技能之一。
4/12/2009
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