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挤压是一种少无切削的先进加工工艺,在机械、仪表、电器、轻工、宇航、船舶及军工等部门都有广泛的应用[1]。挤压筒(凹模)工作时承受很高的单位压力，该压力并非沿凹模全高均匀分布，载荷作用区间的长度和位置是随着工作条件改变的。目前进行的研究大都是以厚壁圆筒理论为基础，有限元分析时一般将其简化为平面应变问题，进行横截面上的应力和变形分析，对于轴向应力未加考虑，这与实际情况不符，且对于非均布载荷作用下的应力分布和变形的研究较少。准确分析挤压筒在局部内压力作用下的变形及应力分布，对多层套挤压筒的结构设计、充分发挥模具材料的潜力和保证挤压筒的最佳工作性能具有重要意义。本文应用Marc对圆挤压筒在均布载荷不同作用长度和位置下的受力情况进行了数值模拟，获得了应力分布及变形的一般规律，为今后非均布载荷作用力下多层套挤压筒的设计提供了依据。
1 基于Marc的分析过程
1.1 有限元模型的建立
由于挤压筒的对称性，可将其简化为轴对称问题处理，按轴对称单元有限元方法分析[2]。有限元模型采用四边形八节点单元(Quad 8node 28),该单元存在边内结点，是二次单元，计算精度较高。对于整体凹模来说，直径比n=4~6较为合理。以r1=5mm,r2=20mm ,h=30mm和内压力P=1000 MPa为计算实例。设定材料的弹性模量为2.1×105 MPa,泊松比为0.3。边界条件根据凹模底面与下模板紧固的事实，对底面各结点施加纵向位移为零的约束条件，内表面根据内压力分布施加边载荷。Marc中默认X轴为旋转轴,所建模型如图1所示(以局部均布载荷为例)。 （图片） 1.2 网格划分
有限元分析中，网格的划分数量对计算结果的影响很大。模型采用28800个单元，87121个节点。当凹模内壁整个高度作用均布载荷时，模拟结果显示各点径向应力σr为1000 MPa、切向应力σt为1133 MPa，与用Lame公式计算的理论值完全吻合。轴向应力σz很小，接近于零，可以忽略[3]。因为在全高均布载荷作用力下，圆筒的载荷分布对称于中心轴，并沿轴向均相同，可以简化为厚壁圆筒[4]。这时应用Lame公式计算准确可靠，所以我们据此确定单元划分的数量。
2 数值模拟结果分析
2.1 载荷作用区间长度变化时挤压筒的应力分析
以直径比n=d2/d1=4为例，分析对比了载荷作用于凹模中部，作用区间长度分别为凹模高度的1/4、1/3、1/2、2/3、3/4及全高时凹模内壁的应力分布。从图2可以看出，当载荷作用区间的长度减小时，凹模内壁各处的主应力差值明显小于作用于全高时的值，即小于按照Lame公式计算的理论值。同时，我们从模拟结果中提取了这几种载荷工况下内壁的Mises等效应力，这是由于一般金属材料的实验数据更接近于Mises屈服准则。（图片） 通过对比可知，Mises等效应力的变化趋势与按照Tresca准则计算的主应力差相同，但数值小15%。说明根据Lame公式和Tresca屈服条件选择的模具结构尺寸偏大，即在相同的结构尺寸下，局部受压的模具能够承受更高的内压力。为简化模具设计，考虑模具承载能力的上述变化，提出载荷作用区间长度不同时，按照公式(σt-σr)=k[σ]进行强度校核。k是与内压力作用区间长度有关的修正系数。全高均布作用力下k=1，则当载荷作用于凹模中部，作用高度为1/4、1/3、1/2、2/3、3/4时凹模内壁的最大主应力差，分别与作用于全高时的主应力差值做商得对应的k值。在Matlab中实现曲线拟合，如图3，并得到相应的五次多项式：（图片） 模具设计时，当直径比=4时，可根据毛坯在凹模中的作用长度，按照上式计算值，并建立相应的强度校核表达式(σt-σr)=k[σ]。（图片） 2.2 载荷作用区间位置变化时挤压筒的变形及应力分析
设载荷作用区间长度为1/2不变，改变作用区间的位置。研究了载荷分别作用于凹模下半部分、中下部分、中间部分、中上部分和上半部分五个不同位置时的应力分布和变形规律。从图4中可以看出，随着载荷作用位置的改变，主应力差(σt-σr)发生相应的变化。内压力作用于凹模两端时最大主应力差值最大，作用于中部时最小。图5表示了这几种情况下凹模内壁沿半径方向的位移，可以看出径向位移随载荷作用位置变化的趋势与主应力差相同。最大径向位移产生于载荷作用区内，使模腔成腰鼓形;当作用区间位于模口附近时，模腔成喇叭形。从有利于卸件及提高模具许用应力两方面考虑，挤压时宜使毛坯置于模腔中上部。由于径向位移和应力分布沿模高不均匀，建议在模具的加工和装配中，组合凹模预紧圈的高度和位置应根据挤压毛坯对凹模的实际作用情况加以调整。（图片） 2.3 轴向应力σz的分布
按照厚壁圆筒理论，无端盖筒体内轴向应力σz=0,但是通过对载荷作用长度为1/2，分别作用于凹模中下部分、中间部分、中上部分三个不同位置时凹模内壁的应力分析表明，如图6：在凹模内壁σz不仅存在，而且分布较为复杂，既出现压应力，也出现拉应力，最大时均接近600MPa。按照Tresca屈服准则进行强度校核时由于为第二主应力，不影响计算结果，但是按照Mises屈服准则计算时，数值较大，对结果影响大，不应忽略。（图片） 3 小结
(1)内压力作用区间长度越小，凹模内壁的主应力差(σt-σr)就越小。通过在强度校核公式中引进修正系数k，可按照Lame公式对局部内压力作用下的整体式挤压凹模进行更为合理的设计。
(2)内压力作用区间的位置改变时，凹模内壁的主应力差(σt-σr)也发生变化，且作用区间位于模腔中部时最大主应力差值最小。
(3)凹模内壁最大径向位移产生于载荷作用区内。综合考虑凹模受载变形对卸件的影响和提高模具承载能力，挤压时使毛坯位于模腔中上部较为有利。
(4)局部载荷作用力下，凹模内壁的轴向应力σz不仅存在，且分布复杂，数值较大。生产中为使模具设计更贴近实际，应考虑轴向应力σz的影响。
(5)在组合凹模设计中，加强圈的位置和高度应根据毛坯在凹模内的位置和高度加以调整。局部均匀载荷作用力下整体凹模的变形及应力分布规律为组合凹模的设计提供了更多依据。
参考文献
[1] 洪深泽.挤压工艺及模具设计[M].北京:机械工业出版社,1995.
[2] 陈火红.Marc有限元实例分析教程[M].北京:机械工业出版社,2002.
[3] 李燕，刘全坤.多层组合圆挤压筒变形及应力分布规律分析[J].合肥工业大学学报(自然科学版),2002,25(6):1154-1158. [4] 徐秉业,刘信声.应用弹塑性力学[M].北京:清华大学出版社,1995.
11/5/2008
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