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弧齿锥齿轮是一种齿面结构较为复杂的局部共扼接触传动齿轮，加之传动过程中高度的边界条件非线性，使得对该问题的研究无论从理论上还是从技术手段上均存在较大的困难。目前对弧齿锥齿轮啮合问题的研究，主要是基于解析方法和简单的数值仿真，并作了大量的简化，不能准确地反映弧齿锥街轮实际的啮合情况，结果不够直观。而利用有限元方法分析齿轮的接触啮合特性就具有很多优点，可以处理结构形状、边界条件和载荷工况等很复杂的问题。有限元方法中的直接约束法可以用十处理非线性接触问题。直接约束法追踪物体的运动轨迹，一旦探测出发生接触，便将接触所需的运动约束和节点力作为边界条件直接施加在产生接触的节点上。这种方法对接触的描述精度高，具有普遍适用性。由干弧齿锥齿轮啮合的接触区域比较复杂，所以本文采用Marc中基于直接约束法的接触迭代算法进行弧齿锥齿轮的啮合仿真，并对计算结果进行分析。
1有限元模型的建立
1.1齿轮副参数
文以某航空减速器中的弧齿锥断轮副为研究对象，主要基本参数如下。
结构几何参数:齿数z1=15 ,z2=46;端面模数m=6mm;螺旋角β=35°，压力角α=20°;齿宽b=40mm。
物理参数:弹性模量E=2.1 x 10的11次方Pa;泊松比v=03。
利用UG NX2.0集成开发环境，建立弧齿锥齿轮完整的三维几何模型，如图1所示。 （图片）
图1 弧齿锥齿轮三维几何模型 1.2有限元网格的建立
为便于计算，对模型进行合理的简化，根据重合度的要求可知，本文所研究的弧齿锥齿轮参与啮合的轮齿对数最多为2对，最少为1对。而且本文所研究的是弧齿锥齿轮的准静态啮合过程，其余轮齿对参与啮合的轮齿的影响很小，所以本文建立了弧齿锥齿轮的三齿啮合对的有限元模型，这样可以减小有限元网格的规模，节约计算成本。
为了提高计算的精度，模型采用八节点六面体单元对二齿模型进行有限元网格划分，并以人工方式控制网格的疏密，对参与接触的齿面和相应的齿根采用较密集的网格，面对不参与接触的齿面和轮缘部分则采用较稀疏的网格进行处理，划分后共计有18839个节点，15180个单元。图2为主动轮和从动轮的三齿有限元模型。（图片）
图2 三齿有限元模型 1.3 边界条件的施加
在弧齿锥齿轮的传动过程中，主动齿轮以一定的转速转动，驱动从动轮运转，从动轮在阻力矩的作用下达到平衡，并对主动轮产生反力矩，这样两轮之间通过轮齿的接触即可实现转速和转矩的传递。
在Marc软件中采用刚体运动控制法，模拟弧齿锥齿轮三齿对模型的啮合。对于主动轮，在其轮缘的内部定义一个速度控制刚体，并施加绕主动轴旋转的转速对刚体进行控制。再将主动轮定义为变形体，使其与速度控制刚体粘接，这样就可以通过定义刚体的运动控制上动轮的运动，实现实际情况中主动轮绕轴线的转动。对于从动轮，同样在其轮缘的内部定义一个载荷控制刚体，井对此刚体施加阻力矩。本文中，将实际的力矩以点载荷的形式施加到辅助节点上，对从动轮绕轴线转动的自由度不加限制，只限制辅助节点另外两个方向的旋转自山度，同时约束刚体控制节点3个方向的平动自由度，这样就在载荷控制刚体上施加了绕从动轮轴线的转矩。与主动轮相同，将从动轮也定义为变形体，使其与载荷控制刚体粘接，这样就可以将施加在刚体上的阻力矩施加到从动轮上。
2准静态啮合仿真结果及分析
准静态原为一个热力学概念，在这里引用主要是指模型在加载的过程中任意时刻所经历的中间状态都可近似地视为静力状态，因此当加载过程进行得无限缓慢时，在各个时刻模型所处的状态就可近似地看作是静态，该过程便是准静态过程。准静态啮合过程仿真主要考虑的是弧齿锥齿轮副在加载时的接触状态，以及齿面和齿根的应力变化规律，其前提是不考虑齿轮副惯性的影响。为了达到准静态过程的条件，本文对主动轮施加一个非常小的转速ω=0.2rad/s，计算时问为3s，计算步数取为300步，这个时间大于一个齿轮啮合周期所需要的时间，这样便于观察中间的轮齿从参与啮合到退出啮合的完整过程。
图3和图4分别为啮合周期中的主从动齿轮的转速和转矩的变化曲线，可以看出，主从动齿轮的转速和转矩均为常值，符合齿轮传动副的传动比条件，同时也证实了在准静态过程中，该模型可以准确地传递转速和转矩，证实了模型的正确性。（图片） 主动齿轮的齿面接触应力随着不同的啮合阶段和重合度的变化而有所不同。图5为主动齿轮啮合过程中每一个增量步中的接触应力最大值变化曲线。可以看出在一个啮合过程中的单齿啮合区齿轮承受的接触应力较大，最大值约为1700MPa，平均值约为15OOMPa，而在双齿啮合区域的接触应力较小，前半段双齿啮合区域由于齿轮刚开始参与啮合而比后半段稍大一些，平均值约为1400MPa。当再次进人双齿啮合区域后，齿轮的啮合状态较平稳且接触应力平均值约为900MPa，小于单齿啮合区域。图6为中间齿相继进人啮合状态的四个节点的齿面接触应力随时间的变化曲线。从图巾四条曲线的变化规律可以看出，齿面接触应力的变化呈周期性，且最大值相差不大，啮合较平稳。
图7为主动齿轮相继啮合的两个轮齿齿面对应于同一位置的接触应力变化曲线。图8为主动齿轮相继啮合的两个轮齿对应于同一位置的齿根弯曲拉应力变化曲线。图9和图10的主动齿轮等效应力图相差一个啮合周期，从图中看到接触应力的大小和分布状态基本一致。以上分析结果皆反映了齿轮啮合的周期性，符合工程实际情况。（图片） （图片） 3 结论
(1)利用Marc软件的直接约束算法，通过施加载荷边界条件，可以使弧齿锥齿轮进行转矩与转速的传递，并巨完成啮合仿真过程。
(2)对一个啮合周期内的弧齿锥齿轮的计算结果进行数值分析，说明该方法能够准确地得到齿轮的连续啮合过程，并得出轮齿在啮合中的齿面接触区域，接触应力以及齿根弯曲应力的分布，显示了轮齿在啮合过程中接触良好，且应力均在静强度范围内。
(3)通过分析弧齿锥齿轮的一个完整的啮合周期，可以观察到弧齿锥齿轮在啮合过程中的接触区域，这样就便于对产品在设计阶段进行质量预报和修形。
(4)所得到的结果符合工程中的实际规律，若考虑惯性力项和阻尼力项对轮齿啮合的影响，则该模型可以用于进行弧齿锥齿轮的动态仿真，为分析高速情况下弧齿锥齿轮的啮合提供了基础和依据。
11/3/2008
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