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摘要分析了齿轮变位对第二类平衡式复合齿轮泵各啮合点运动规律和瞬态流量特性的影响，并得出了有关流量及其脉动公式，以及最佳结构形式。
关键词变位齿轮；复合齿轮泵；啮合点；流量特性
0引言
三惰轮复合齿轮泵结构原理见图1.该泵由三个内齿轮泵和三个外齿轮泵组成。中心轮齿数z1＝3k1或z1≠3k1（k1为正整数)可分为两类。此处称z1≠3k1时为第二类复合齿轮泵。标准齿轮第二类复合泵流量特性已被研究过，故仅讨论变位齿轮第二类复合泵的流量特性。为便于分析且不失普遍性，取z1＝3k1＋1。 （图片）
图1复合齿轮泵结构原理 1有关概念和约定
普通齿轮泵流量是以啮合点运动描述的，复合齿轮泵流量则是以诸啮合点运动迭加描述的，比较复杂。为便于描述啮合点运动，有如下概念和约定：
1)惰轮和内外齿轮序号如图1。
2)若中心轮某轮齿中位线与y轴正向夹角为γ1，当0≤γ1≤α1时，定为1号齿，2号齿至z1号齿按顺时针方向约定，其中α1＝2π／z1为中心轮轮齿角距。按惰轮啮合点运动方向，同样可约定0≤γ2≤α2时为惰轮1号齿，2号齿至z2号齿按逆时针方向约定，其中α2＝2π／z2为惰轮轮齿角距，z2为惰轮齿数。
3)中心轮、惰轮主动啮合齿线称前齿线，前齿线与节圆交点位于节点pi上时，角位移θ＝0，趋向节点θ＜0，离开节点θ＞0，啮合点到节点位移为f
f＝Rj1θ1＝Rj2θ2＝Rj1ω1t＝Rj2ω2t（1）
式中Rj1，Rj2为中心轮、惰轮基圆半径；
θ1，θ2为中心轮、惰轮角位移；
ω1，ω2为中心轮、惰轮角速度(ω2＝ω1z1／z2）
为简化讨论，设重迭系数ε→1．即任意瞬时，每一齿轮泵中仅有一对轮齿处于排液状态，且f＝－tj／2时开始排液，f＝tj／2时终止排液，其中tj为节距，则
tj＝πmcosα＝Rj1α1＝Rj2α2（2）
式中m为齿轮模数，α＝20°为分度圆压力角。
4)齿轮变位方法及同心条件约定复合齿轮泵一般z2＜17，复合泵中的外齿轮宜采用大啮合角正传动，其内齿轮泵宜采用小啮合角负传动［1］。采用这种变位方式既可防止根切，又可提高齿面的密封性能，也可降低重迭系数，减少困油现象［2］。这种变位方式，惰轮的外啮合节圆半径R′2＞Rf2，惰轮的内啮合半径R″2＜R′f2，其中Rf2为惰轮分度圆半径，由同心条件可得变位后内齿轮齿数z3为
z3＝（z1＋z2）（cosα23／cosα12）＋z2（3）
其中α12、α23为外、内齿轮泵啮合角。
在后面的推导中，为简化表达式，取z3＝z′3＝z1＋2z2，z′3为标准传动时内齿轮齿数。
2一般流量方程
复合泵中，每一外齿轮泵的瞬态流量Qoi（i＝1，2，3）为：
Qoi＝a1－a2f2i（4）
式中fi为第i外啮合点到节点的位移；
a1＝［2R1（ha1＋ha2）＋h2a1＋h2a2R1／R′2］BW1／2；
a2＝（1＋R1／R′2）BW1／2＝（1＋z1／z2）BW1／2；
ha1、ha2为中心轮、惰轮齿顶高；B为齿轮宽度；R1为中心轮节圆半径。
复合泵中，每一内齿轮泵的瞬时流量Q′oi为
Q′oi＝b1－b2f′2i（5）
式中f′i为内啮合点到其节点的位移；
b1＝［2R′1（ha2＋ha3）＋h2a2＋h2a3R″1／R3］BW2／2；
b2＝（1－R″2／R3）BW2／2＝（z1／z2－z1／z3）BW1／2；
ha3、R3为内齿轮齿顶高、节圆半径。
复合泵合成流量Q为（图片） 式中A＝3（a1＋b1）
复合泵的流量脉动率定义为δθ＝（Qmax－Qmin）／Qt
式中Qt为复合泵理论流量（Qt＝6q1n），q1为以中心轮计算的单一外齿轮泵的排量，q1＝2πm3z1B，n为中心轮转速。
3初始啮合点位置及瞬态位移分析
见图1，取中心轮z1号齿与1号惰轮啮合于节点P1，当z1＝3k1＋1时，中心轮第k1号齿超前tj／3与2号惰轮相啮合，第2k2＋1号齿滞后tj／3与3号惰轮相啮合，即f1（0）＝0，f2（0）＝－tj／3，f3（0）＝tj／3．当f∈［－tj／2，tj／2］时，合成位移（图片）fi可由5个方程来表达，分成三个周期，周期角为α1／3，当f∈［－tj／6，tj／6］时，各外啮合点的瞬态位移（图片） 3．1z2＝2k2＋1时的情况
见图2，若标准传动，1号惰轮与中心轮啮合于节点P′1，则2∠P′1O2A′＝2θ为惰轮分度圆弧齿中心角；若惰轮采用上述方法变位，当t＝0时1号惰轮与中心轮实际啮合于节点P1，则2∠P1O2A＝2θ′为惰轮外啮合节圆弧齿中心角，外啮合引起的惰轮轮齿齿中线转角△θ12为
△θ12＝∠AO2′A′＝θ′－θ＝invα－invα12＋2x2tgα／z2（9）（图片）
图2初始啮合点位移的分析 式中x2为惰轮变位系数。
惰轮的k2＋1号齿与中心轮啮合于节点P1时，其2k1＋1号齿的前齿线与内啮合节圆交于B点，则2∠BO2C＝2θ′为内啮合节圆弧齿中心角，作∠CO2B′＝θ，θ2B′与惰轮分度圆交于B′点，则
∠BOB′＝θ″－θ＝△θ23＝invα－invα23＋2x2tgα／z2（10）
当t＝0时，2k2＋1号齿前齿线与其啮合线的交点到节点P4的距离f0称初始附加位移。由啮合原理知每个惰轮的初始附加位移相等。故各内啮合点的初始位移为（图片） 式中△θ＝∠BO2P′4＝△θ12＋△θ23＝∠B′O2P′4＋△θ23
当t＞0时，在f∈［－tj／6，tj／6］周期内各内啮合点瞬态位移为（图片） 3．2z2＝2k2时的情况
标准传动，当z2＝2k2时，1号惰轮的k2＋1号齿与中心轮z1号齿啮合于节点P1时，其2k2号齿超前tj／2，1号齿滞后tj／2与内齿轮相啮合。由于齿轮变位引起的初始附加位移的影响，当t＝0时，则f′1（0）＝f0±tj／2，f′2（0）＝f0＋tj／6，f′3（0）＝f0－tj／6．当f∈［－tj／6，tj／6］周期内各内啮合点位移为（图片） 4流量特性分析
4．1z1＝3k1＋1，z2＝2k2＋1时的情况
将(8)、(12)式代入(16)式得复合泵合成流量Q1，在f∈［－tj／6，tj／6］周期内可由2个方程来表达。
>Q1＝A－a2［（f－tj／3）2＋f2＋（f＋tj／3）2］－b2［（f＋f0－tj／3）2＋（f＋f0）2＋
（f＋f0＋tj／3）2］f∈［－tj／6，tj／6－f0］（14）
Q1＝A－a2［（f－tj／3）2＋f2＋（f＋tj／3）2］－b2［（f＋f0－tj／3）2＋（f＋f0）2＋
（f＋f0－（图片）tj／3）2］f∈［tj／6－f0，tj／6］（15）
令（图片）Q1/（图片）f＝0，由(14)式得f1＝－b2f0／（a1＋a2），由(15)式得f2＝b2（tj－3f0）／［3（a2＋b2）］。因（图片）2Q1/（图片）f2＜0，将f1代入(14)式，f2代入(15)式并比较得
Q1max＝A＋3f20b22／（a2＋b2）－2t2j（a2＋b2）／9－3f20b2
Q1min＝A－（a2＋b2）t2j／12＋f0tjb2－2t2j（a2＋b2）／9－3f20b2（f＝±tj／6时)
δθ1＝［πcosα（z1＋z2）］2（1－3λ1／λ2）2／（72z1z2z′3）（16）
式中λ2＝（z1＋z2）／z1；λ1＝f0／tj；
当λ1＝0时δ′Q＝［πcos（z1＋z2）］2／（72z1z2z3）（17）
为标准传动时相同条件下的流量脉动率。
4．2当z1＝3k1＋1，z2＝2k2时的分析
将(9)、(13)式代入(6)式得合成流量Q2为
Q2＝A－a2［（f－tj／3）2＋f2＋（f＋tj／3）2］－b2［（f＋f0＋tj／2）2＋（f＋f0＋tj／6）2＋（f＋f0－tj／6）2］f∈［－tj／6，－f0］（18）
Q2＝A－a2［（f－tj／3）2＋f2＋（f＋fj）2］－b2［（f＋f0－tj／2）2＋（f＋f0＋tj／6）2＋（f＋f0－tj／6）2］f∈［－f0，tj／6］（19）
按4．1方法同样处理后可得
Q2max＝A＋b′2（tj－6f0）2／［12（a2＋b2）］－（8a2＋11b2）t2j／36＋b2f0（tj－3f0）
Q2min＝A－（a2＋b2）t2j／12－（8a2＋11b2）t2j／36
＋b2f0（tj－3f0）＋（tj－6f0）tjb2／6（f＝±tj／6时)
δθ2＝z′3［πcosα（1＋6λ1／λ3）］2／（288z1z2）（20）
式中λ3＝z′3／z1
若λ1＝0得δ′θ2＝z′3（πcosα）2／（288z1z2）（21）
第二类复合泵的流量特性曲线见图3。图中1 （z2＝2k2＋1），2（z2＝2k2）为变位齿轮复合泵流量特性曲线；1′（z2＝2k2＋1），2′（z2＝2k2）为标准齿轮复合泵流量特性曲线。作图条件为z1＝17，z2＝12，x2＝0．4，α12＝26．5°，α23＝17°。（图片）
图3第2类复合泵流量特性曲线 5结论
由图3及(16)、(20)式可知，z2＝2k2＋1标准传动时，因每一内啮合点与其对应的外啮合点的相对位移相同，故流量特性较差；当齿轮变位后，改变了三内啮合点的相对位置，流量特性有所改善。当z2＝2k2标准传动时，流量特性最好。其原因是将各个排液点的最大值和最小值相互交错均布合成；但齿轮变位后，改变了内啮合点的相对位置，使流量脉动率有所增加。
在相同条件下，比较(16)及(20)式可知，当f0＜tj／12时δθ2＜δθ1，即惰轮应采用偶数齿；当f0＞tj／12时，δθ2＞δθ1，即惰轮应采用奇数齿。
参考文献
1张少名.行星传动.西安：陕西科学技术出版社，1988．127
2何存兴.液压元件.北京：机械工业出版社，1982．47～89
12/19/2005
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