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摘 要：提出了一种离心泵叶轮的计算机辅助设计方法，给出了保证叶轮流道光顺的几何模型；在按过水断面面积变化规律设计叶轮流道时，对轴面流道和叶片同时进行设计，使得最终设计出的叶轮轴面流道和叶片所确定的叶轮流道的过水断面面积分布情况精确地符合设计目标。为提高离心泵叶轮的设计质量及效率提供了一个新的方法。
关键词 ：离心泵；叶轮；计算机辅助设计；算法
0 前言
水泵是一种应用广泛的通用机械，其中离心泵所占数量为最多。由于叶轮是影响离心泵性能和效率的重要因素，研究和改进离心泵的设计方法具有十分重要的意义。以往对叶轮设计方法的研究多集中于水力计算分析，对于叶轮形状的设计大多局限于以计算机为工具但仍采用传统的几何模型。而对构成叶轮流道的曲面和曲线的几何性质及其对流体流动状态的影响。如何采用合理的几何性质的曲线和曲面构成叶轮流道，以及如何有效地构造和控制这些曲线和曲面的方法和手段等方面的研究则做得很少。传统的叶轮轴面流道设计是通过“内切园校核”的方法来实现。这是一种试凑设计法，计算粗糙且设计工作量大，难以获得精确符合设计要求的叶轮流道形状。此外，传统的方法不考虑流道的光顺性， 也不计入叶片对过水断面面积的排挤。然而这些因素对于叶轮流道内流体的流动状态及离心泵效率的影响都是明显的。作者给出了在给定离心泵叶轮的基本几何参数 、叶轮流道过水断面面积沿程变化规律、叶片厚度变化规律以及轴面流道的轴面边界曲线等边界条件后，能够按过水断面面积变化规律推算和构造叶轮流道形状，并保证设计出的流道表面光顺的离心泵叶轮计算机辅助设计方法。受篇幅限制，本文着重讨论离心泵叶轮计算机辅助设计中叶轮流道几何模型的构造及相关的算法。
1 基本模型
在离心泵叶轮的设计中，叶片的厚度变化规律可以根据（1）式及（2）式确定：
Lbc=Cb.Lbm , 0b<1 (1)
在叶片任意长度Lb处叶片的厚度即为 （图片） （1）式及（2）式中的 Lbm表示展直后的叶片全长，Sb1为叶片入口边的厚度，Sb2为叶片出口边的厚度，Lbc为叶片修薄部分的长度。由 于在叶轮流道和叶片的几何形状设计完成之前，长度Lbm是未确定的， 因此长度Lbc是按与长度Lbm的比值的形式给定的。
叶轮流道过水断面面积沿程变化规律是沿着展直的轴面边界曲线的弧长给出的， 在与这条展直的轴面边界曲线同时展直的叶片的轴面弧长与轴面边界曲线的弧长的 对应关系如图1所示，对照图1分析流道过水断面面积F沿轴面边界曲线弧长L的变化 规律可得如下关系式：（图片） （图片）
图1 （3）式中Ls表示沿展开的那条轴面边界曲线上从叶轮入口至叶片进口边的弧长，Lm为展开的那条轴面边界曲线的整个弧长。
设计叶轮的轴面流道形状，就是要实现如下设计目标：给定了叶轮基本几何参数、流道过水断面面积沿程变化规律、叶片厚度变化规律以及轴面边界曲线等几何边界条件，推算和构造构成叶轮轴面流道形 状的其它轴面曲线。
下面讨论根据给定的流道几何边界条件推算其它轴面曲线的方法。由于对三种给定轴面边界曲线方式（前盖板轴面流线、流道中线或后 盖板轴面流线）推算方式基本相同，这里取前盖板轴面流线为轴面边界曲线为例进行讨论。
现在的问题是：在以曲线段（图片）为轴面边界曲线（取为三次参数样条曲线）、同时满足其它边界条件的情况下，推算出切圆O上与已知切点K对应的另一个切点H的轨迹（参见图1），这里的其它边界条件包括：叶轮流道过水断面面积沿程变化规律、叶片厚度沿程变化规 律、叶片安放角的沿程变化规律。
过水断面面积沿程变化规律表示过水断面上的有效过水面积F沿轴面边界曲线弧长L的变化规律，即在（3）式中所描述的，现用下式表示：（图片）(4) 式中F表示过水断面实际面积；Fr表示过水断面形成线（图片）绕OX轴回转形成的回转抛物面的面积；Sp表示叶片在回转抛物面上占据的面积，可写成（图片）(5) 式中Z为叶片的数目，由叶轮基本几何参 数确定，在这里为常数；b=b(L)为（图片）的弧长；Su=Su(Sb(L)，β((L，μ ))为叶片在曲线段（图片）上沿叶轮园周方向的厚度，其中Sb=Sb(L)为叶 片的实际厚度，由（2）式给定；β=β(L, μ)为叶片安放角，变量μ(为曲线（图片）的参数。b=b(L)及Su=Su(L,μ)的确定较为困 难，因为其中一些变量（例如(β）当前还是未知的，得在以后的设计环节中才能 确定，因此Sp当前不能确定，进而使得在Ls≤L≤ Lm区间（4）式的值难以确定。由于Sp计算困难，通常进 行叶轮流道几何设计时，可不考虑叶片对过水断面面积的排挤Sp，将（4）近似写成
F=Fr(L), 0＜L＜ Lm (6)
下面给出以（6）式为设计目标构造叶轮流道形状的计算机辅助设计方法。为了讨论方便，且在算法上也不失一般性，仍以前盖板轴面流线的为轴面边界曲线为例进行讨论。
2 主要算法
现在是要根据轴面边界曲线（图片），以满足（6）式所给出的条件为几何设计目标设计出曲线（图片）（参见图1）。显然直接找出满足给出的全部几何边界条件的曲线段（图片）的数字表达式是困难的。但我们可以通过数值计算方法求出（图片）上满足给出的几何边界条件的点列，然后利用这些点构造符合水力要求 的曲线（单凹、光顺）即可获得较精确地满足（6）式的几何设计目标的轴面曲线 。这里按以下步骤构造曲线段（图片）：求出（图片）上有限个满足条件（5）式的点Hi，（i=1,2…，n）；对点 列｛Hi｝（i=1,2,…,n）构造曲线。
现在看在 L=Li处如何确定Hi的位置。图1中（图片）的方向已知，它是已知曲线段1,2在Ki点的法线方向，由角 度θi来确定，O≤θi《45°, 是直线段（图片）与X轴正向的夹角，是通过（1）式来进行计算的；Δ KiOiHi的顶点Oi一定在（图片）上，（图片）为内切园Oi的半径Ri，定义α∠ OiKiHi为θi，由θ i可以确定（图片）的方向，进一步可确定Hi位置。现在（图片）的模（即Ri）和方向（即θi）未知，要确定 Hi的位置有Ri、θi两个未知量，但我们只有一个关系式Fi=Fri。但还有一个几何边界条件，即 Hi为切园族（图片）上的切点。这样，点Hi不仅要满足 Fi=Fi(Li)，还要满足包络条件，因此 Hi的位置是确定的。利用数值方法求解（图片）的位置时，可以给定（图片）初始值，确定出（图片）的值，再利用包络条件对（图片）的值进行修正，通过多次的逼近计算最后即可得到满足误差要求 的点列（图片），再通过对（图片）构造曲线，即可得到所要求的轴面曲线。
2.1 Fi=Fr(Li)的解 析算法
在L=Li处，过水断面面积Fi的值是已知的（由给定的过水断面面积变化规律确定的），据（6）式
Fi=Fr(Li) O＜L＜ Lm
这里 Fi=Fr(Li)=Fri为 L=Li处抛物线段（图片）绕OX轴而成的回转抛物面的面积。在几何边界条件给定后，有以下已知 条件（参见图1）
a．点Ki的位置（Xki, Yki）
b．（图片）的方向（由θi给定）
c．抛物线段（图片）对称于（图片），且E点在ΔKiOiHi的高｜ DOi｜1/3处；
d．由（图片）绕OX轴形成的回转抛物面的面积Fri的值 Fri=Fi；
此时，只要补充上θi的值 ，即可得到精确的关系式
Ri=R(Fri)
由此直接确定了Δ KiOiHi，亦即确定了点Hi的位置 （XHi,YHi）。这使得在修正和逼近θi的过 程中，避用数值计算而直接反算出Ri，这样不仅提高了运算精度，而 且大大减少了计算量，加速了逼近计算过程。关系式
R=R（Fr） (7)
是应用古鲁金（P.Guldin）定理推导出的结果，推导过程略。
2.2 θi的数值计算
夹角（图片）的初始值选择得适当，可以使逼近过程加快。θ总是一个较小的角度，一般不超过3～5°，根据θ角的变化趋势，在算法设计中按下式取θ角的初始值（图片） 式中θm为一个较小的角度 值，在程序设计中实际取θm=3°。
在根据θ的一组初始值（图片）计算出一组（图片）后，即可定出一组切圆（图片）和一组预报切点（图片）；通过求切圆组（图片）的包络，得到一组切点（图片），从而得到一组（图片）。此时要根据（图片）对（图片）进行修正。如果修正量过大，则不易收敛；反之，则收敛速度较 慢。这里取θi=(θi+θci)/2.0,即取两个角 度的中间值。对θi的逼近计算进行到满足（图片）为止，其中εθ为给定的θi的相对误差限。
2.3 求切圆包络切点的数值方法
平面曲线族的包络线议程的一般形式为（图片） 其中F（x,y,λ）为曲线族的方程，λ为 曲线族参数。
这个问题是由于只得到了有限个切圆（图片），因此只能用数值方法来求解出有限个切点。首先，写出切圆族方程为：（图片） 其中（图片）及R分别是切圆的圆心的坐标及半径，均系切点坐标X的函数，这里以X为 曲线族的参数，通过推导、最后消去X，可得到包络线的参数形式方程（图片） 式中（图片） （9）式求出的包络线有两条，当C=1时，所求的包 络线为前盖板轴面流线，(即图1中（图片）)；当C=-1时求出的包络线为后盖板轴面流线（即图1中（图片）2.4 型值点的光顺
本标法采用了回弹法对型点列进行光顺。由于考虑满足不同的情况和要求，设置了光顺等级选择。设计人员在设计过程中可以根据不同的要求选择对型值点作精光顺、粗光顺或不作光顺处理。由于给定的轴面边界曲线是光顺的，一般只要过水断面规律给得适当，反算出的型值点到（图片）为光顺点列，可无须另作光顺处理，直接用累加弦长的三次参数样条对（图片）插值构造轴面曲线。累加弦长的三次参数样条在节点处C2连续，插值得出的曲线在整体上的曲率连续性较好，且适合于大挠 度的情况，因此采用累加弦长的三次参数样条对构造要求整体上曲率连续的轴面曲线是适合的。
叶轮的轴面曲线应该是单凹、光滑的。当由给定的边界条件 求出的点列（图片）光顺性不好时，必须对（图片）进行光顺，否则构造出的轴面曲线会因为局部拐点或曲率变化不均匀而影响叶轮的水力性能。但光顺会使曲线偏离按边界条件推算出的原始型值点 。因此设计人员可根据具体要求选择对型值点（图片）作精光顺或粗光顺。作粗光顺时，先对型值点构造三次样条函数 ，用局部回弹法修改和消除曲线上多余的拐点，保证曲线在整段上单凹，然后用累 加弦长的三次参数样条构造曲线。作精光顺时还得修改和消除曲线上多余曲率峰值 ，使得曲率变化均匀，然后再用累加弦长的三次参数样条构造曲线。
由于在大挠度下三次样条函数的光顺性可能变坏，在对型值点到（图片）作光顺时，是将坐标系按逆时针方向旋转45°，将大挠度问题化 为小挠度问题处理。
以上是在给定轴面边界曲线后，以（5）式为边界条 件的叶轮轴面流道形状的计算机辅助设计的基本方法。就满足（5）式的设计目标 而论，这个算法的数值稳定性和逼近收敛性都很好。
3 结束语
本文给出的一种新的离心泵 流道的CAD设计方法，在按过水断面面积变化规律设计叶轮叶片和轴面流道时，考 虑了叶片对过水断面面积的排挤，通过数值计算将叶轮流道的设计和叶片的设计反 复交叉进行，最终设计出的叶轮轴面流道光顺，并保证轴面流道及叶片所确定的叶 轮流道的过水断面面积变化情况精确符合设计目标。
作者单位：贵州工业大学CAD技术研究所，贵州 贵阳 550003
参考文献
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［2］［英］I.D. 福克斯，M.J. 普拉斯著，厉声林，李心灿，郑会琳等译.设计与制造用的计算机几何学［M］.北 京：国防工业出版社，1986.
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11/14/2004
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