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磨削过程与磨削表面残余应力关系的数学模型

天津理工学院牛兴华张孟湘

1 磨削表面残余应力的形成机理

塑性凸出效应的影响

磨削时，由于磨粒切刃具有大的负前角，变形区的塑性变形非常严重，在磨粒刃尖前方区域将形成复杂的应力状态。在磨粒切刃刚走过的表面部分上，沿表面方向出现塑性收缩、而在表面的垂直方向出现拉伸塑性变形——这就是塑性凸出效应，结果磨削表面出现残余拉应力。

挤光作用的影响

在切削加工过程中，刀具和工件之间会产生作用力。垂直于被加工表面的作用力和由此产生的摩擦力一起对被加工表面产生挤光作用。当刀刃不锋利或切削条件恶劣时，挤光作用的影响更为明显，挤光作用会使零件表面产生残余压应力。

热应力的影响

磨削时，磨削表面层在磨削热的作用下产生热膨胀，而此时基体温度较低，磨削表面层的热膨胀受到基体的限制而产生压缩应力。当表面层的温度超过材料的弹性变形所允许的温度时，表面层的温度下降至与基体温度一致时，表面层产生残余拉应力。

磨削液冷却效应

磨削过程中，由于磨削液的使用，磨削表面层在冷却过程中会产生一个降温梯度，它与热应力的影响刚好相反，它可减缓由热应力造成的表面残余拉应力。

磨削过程中，除了上述影响残余应力的因素外，还有表面层的二次淬火及表层的回火现象。

2 磨削表面残余应力数学模型的建立

通过上述分析可知，影响磨削表面残余应力的主要因素可归纳为：磨削力、磨削温度和磨削液的冷却性。力和温度是磨削过程中产生的两种磨削现象，直接对残余应力产生影响；而磨削液对残余应力的影响，一方面是通过表面的降温过程直接产生的，另一方面是通过对力和温度的影响间接产生的。本文试图通过对力和温度的试验数据，以及磨削表面二维残余应力测试数据的数学处理，给出一种反映力、温度和磨削液的冷却性能与表面残余应力关系的数学模型。数学模型中应包括上述影响磨削表面残余应力的因素，即

s_RT=s_F+s_R+s_L

式中：s_RT——磨削表面残余应力

s_F——磨削力的影响

s_R——磨削温度的影响

s_L——磨削液冷却性能的影响

1) 磨削力与残余应力关系的数学模型

首先依据图1所示的模型来分析残余应力与塑性变形之间的关系。图1a为自由状态下的两个弹簧，图1b为两个弹簧被放入刚性板之间的状态。根据平衡条件可得出

N=k1k2(l1-l2)/(k1+k2)

式中：N——两个弹簧被放入刚性板后弹簧的内力

l1、l2——两个弹簧在自由状态下的长度

k1、k2——两个弹簧的弹性系数

l1-l2可看作是本文意义上的塑性变形。从上式中可得出，内力与塑性变形呈正比，即残余应力与塑性变形呈正比。

（图片）

图1 残余应力与塑性变形关系模型

图2为应力s与应变e关系的简化模型。从图中可知

e_B=(s_B-s_S)/E₁+e_S e＇_A=e_B/E

式中：s_S——材料的屈服限

s_B——某一磨削条件下的应力

E——材料的弹性模量

E₁——常数

（图片）

图2 应力σ与应变关系简化模型

根据图2可得出，当外力释放后，B点处应变e_B沿斜率OA释放后残留为e_p

e_p=e_B-e＇_A=(s_B-s_S)/E+e_S+s_B/E

上式说明，塑性变形与力呈线性关系。

综合上述分析可以认可，残余应力与磨削力呈线性关系，两者关系可表示为

s_F=AF+D₁ (1)

式中：A、D1——系数

F——磨削力(可采用切向力)

2) 磨削温度与残余应力关系的数学模型

（图片）

图3

由热应力产生的残余应力可用图3来进行分析。当磨削区温度升高时，表面层受热膨胀产生压缩应力σ，该应力随温度升高而线性增大，其值大致为

s=a′EDq

式中：a′——线膨胀系数

E——材料的弹性模量

Dq——温升

当磨削温度继续升高至q_A时，热应力达到材料的屈服限，如温度再升高(q_A→q_B),表面层将产生塑性变形，热应力值将停留在材料不同温度时的屈服限处。磨削完毕，表面层温度下降，热应力按原斜率s_B下降(沿BC曲线)，直到与基体温度一致，这时表面产生残余拉应力。其值为

s_q=s_D-s_B s_D=a′Eq_B

如果认为s_B与温度呈线性关系，那么，可得到磨削温度与残余应力关系的数学模型为

s_q=a′Eq_B-B₀q_B+D₂=Bq+D₂

式中 B0、B、D2——系数

θ——磨削区最高温度

3) 磨削液冷却性能与磨削表面残余应力关系的数学模型

磨削区温度越高、磨削液冷却系数越大时，下层表面层的温差越大，对热应力造成的残余应力降低的也越多。磨削液冷却性能对表面残余应力的影响与表面温度有关，因此，将磨削液与磨削表面残余应力关系的数学模型表示为

s_L=Cqa+D₃

式中 C、D3——系数

α——磨削液冷却系数

综合式(1)、(2)、(3)可得出磨削过程与磨削表面残余应力关系的数学模型如下

s_RT=AF+Bq+Cqa+D

式中 A、B、C、D——反映磨削力、磨削温度、磨削液冷却性能影响磨削表面残余应力的系数

3 数学模型的回归计算及分析

1) 数学模型的回归计算

根据式(4)表示的残余应力的数学模型，用最小二乘法可得出如下的正规方程组

（图片）

本文中，N=6，表1为一组实测数据的计算表(残余应力单位是：MPa，以下同)。解正规方程组可得

A=45.77 B=1.98 C=-6×10^-4 D=-1.47

由此可得到拟合结果如下

s_RT=45.77F+1.98q—6×10^-4q a—1.47

表1 回归计算表

试件	F_i	q_i	s_i	q²_i	F²_i	F_iq_i	q_iF_ia_i	q²_ia_i	q²_ia²_i	s_iF_i	s_iq_i	s_iq_ia_i	q_ia_i
1	1.84	280	421.4	78400	3.39	515.2	620300.8	9.44×10⁷	1.14×10¹¹	775.38	117992	14.21×10⁷	337120
2	1.36	240	509.6	57600	1.82	326.4	56532.5	9.92×10⁷	1.71×10⁹	693.06	122304	21.17×10⁶	41568
3	1.70	212	441	44944	2.89	360.4	158559.1	2.1×10⁷	9.83×10⁹	749.7	93492	43.71×10⁶	99152.4
4	1.42	200	382.2	40000	2.02	284	229898	3.24×10⁷	2.62×10¹⁰	542.72	76440	61.84×10⁶	161900
5	1.62	260	460.6	67600	2.64	421.2	340961	5.47×10⁷	4.43×10¹⁰	746.17	119756	96.92×10⁶	210470
6	1.66	260	460.6	67600	2.77	431.6	349380	5.47×10⁷	4.43×10¹⁰	764.6	119756	96.92×10⁶	210470
s	9.6	1452	2675.4	356144	15.53	2338.8	1755631.4	26.71×10⁷	24.03×10¹⁰	435.88	649740	462.66×10⁶	1.06×10⁶

2) 数学模型计算结果的分析

表2为计算结果的误差分析表。其中s^*_i为计算值、s_i为测量值、D_i=|s^*_i-s_i|。最大的拟合误差5.5%。

表2 误差分析表

试件	s^_i	s_i	D_i	D_i/s^*_i(%)
1	434.53	421.4	13.13	3.0
2	510.87	509.6	1.27	0.2
3	436.39	441	4.61	1.1
4	362.21	382.2	19.99	5.5
5	460.89	460.6	0.29	0.1
6	462.66	460.6	2.06	0.5

4 结束语

本文提出了一种新的研究磨削表面残余应力的方法，即用反映磨削过程的力、温度、磨削液冷却系数这3个综合指标，来研究磨削表面残余应力，并给出了数学模型。该数学模型反映了磨削表面残余表面应力的形成机理，该方法同其它单因素研究方法相比，具有广泛的可比性。 2/10/2007


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