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采用三维有限元方法来计算斜齿轮的接触应力。我们对接触应力与齿廓修正量之间的关系进行了研究，得出以下结论：(i)斜齿轮的齿硬度可以通过当量正齿轮的齿硬度来判断。(ii)齿顶应力降低可以导致修正起点的应力局部增加。(iii)斜齿轮的合理齿廓修正量约为当量正齿轮的齿挠曲量的1.5 倍。
关键词： 机械元件、齿轮、有限元方法、接触问题、斜齿轮、齿廓修正
1. 简介
对于高速、大功率的齿轮传动装置来说，刮伤的阻力(指抓取齿面造成的损伤)决定了可以传输的功率。人们普遍使用PV 值来计算刮伤的阻力，PV 值是接触应力和齿面滑动速度的乘积，应该与齿面的摩擦热成一定比例。但是，人们通常认为，通过PV 值计算的刮伤界限不能提供令人满意的经验证据。因此，在复杂情况下，包括齿顶边缘啮合或齿廓修正发生中断时，即使同时发生的啮合线上的应力分布也不可能完全计算出来。
另一方面，目前甚至一些大型系统也采用有限元方法来计算实际速度，这种方法不需要使用特殊的边界条件来解决上述此类问题，而且在分析过程中不会发生复杂情况，因此非常适合计算啮合线上的应力分布。
因而，此次研究将三维有限元方法应用于斜齿轮的接触应力分析中。通过优化网状结构，我们可以成功地获得较小模型的边界条件设置和计算接触应力的方法以及啮合线上的应力分布。此外，我们还对接触应力分布上的齿廓修正量的变化结果做了研究。我们还对确定最佳齿廓修正量进行了尝试，这种尝试依据的条件是：假设齿面上PV 值达到最大时的位置是刮伤的起始位置。
参考(1)中提出了用于接触分析的有限元方法程序，此次分析采用这种程序。该程序针对线性静态分析法而设计。
2. 分析方法
图1 显示的是分析中使用的一种模型范例。通过设定边界条件可以对齿轮的负载条件进行模拟，边界条件对沿着三个轴方向的平面A1、A2、A3 中的节点做出限制，并对沿着齿轮圆周方向的平面B1、B2、B3 中的节点给出规定的位移。平面B1 和B2 的规定位移是根据齿轮的径向位置来决定的。 （图片） 齿面的网丝形状是根据啮合线必须穿过节点(如图2 所示)这种方式建造的。（图片） 特定齿上负载的分配与规定位移相适应，而这种负载的分布其实是一种与啮合齿轮接触的节点产生的反作用力。因此齿轮轴周围产生的转矩从与轴垂直的平面中节点力F 的Fxyi 分力总和中获得(沿着啮合线方向，如公式(1)所示)： （图片） 其中，rg 为基圆半径。目前由于计算机的功率和速度有限，只能对单对齿做出分析。因此，当两对或两对以上的齿同时啮合时，可以采用啮合点上假定相同的规定位移进行计算，这些啮合点在作用线上相隔一个基圆节距。啮合点上假定有相同的规定位移时，每个齿面上便会产生与位移量和齿硬度一致的反作用力，因此硬度的影响随着啮合位置的不同而不同，该计算中自动包含了这种影响。因此，轴转矩为每个啮合点上获得的所有转矩之和。 （图片） 计算接触应力的程序如下。如果采用有限元分析方法直接获得接触应力，则相当于0.1 mm的一赫兹接触宽度必须分成可接受的细丝网状，这样可以使分析模型的范围更加广泛。因此，在此次研究中，接触应力是根据每个节点的规定位移产生的节点力Fi及同一节点的接触长度Li计算得来的(如公式(2)及图4 所示)： （图片） R1＝RS1/cos βg
R2＝RS2/cos βg （图片） 其中，Rs 为与轴垂直的平面中齿面的曲率半径(mm)，βg为基圆柱螺旋角(deg)，E 为杨氏模数(N/mm2)，ν 为泊松比(横向变形系数)。标在下角的1 和2 分别代表主动齿轮和从动齿轮。
图5 显示的是啮合线上节点的排列形状。齿面上的节点用闭合的圆表示，啮合齿面上的节点用开口的圆表示。当面元素ABCD 内部形成负载传输节点对 A-a' 或 C-c'时，本次分析使用的程序可以根据 a' 或c'的位置将节点力分配给节点A、B、C 和D。在这种情况下，节点B 和D 上的反作用力不为零；因此，仅根据节点A 和C 上的反作用力无法计算接触应力。但是本次采用的有限元模型中，节点对总是交迭产生 A-a 或 C-c。因此，节点B 和D 上的反作用力为零，所以上述方法有效。 （图片） 3. 分析结果和讨论
3-1 分析模型
表1显示的是计算中用到的齿轮规格。 齿轮对具有相同的模数、齿数及齿宽，但螺旋角各不相同，分别为30、20、10 度。下文中，这些齿轮分别称为β30、β20、β10。 （图片） 主动齿轮和从动齿轮的齿顶设定相同的齿廓修正量。端面齿廓上接触条件改变时(指双对啮合变为单对啮合)，修正开始，并且呈线性增加至两个齿轮的齿顶。修正量经过预先设定，因此齿顶的修正Δ为符合设定负载的当量正齿轮挠曲 δ的0、0.5、1、1.5、2 倍。
3-2 接触应力分析结果
图6中 (a) - (c)显示的是齿轮β30-β10中相同啮合线上的应力分布。图6 右侧还标明了齿面和啮合面上啮合线的位置。图6 中X-轴标明了啮合线的位置(沿着齿廓方向)。标明“顶部”处为主动齿轮的齿顶位置，标明“根部”处为齿轮与啮合齿轮齿顶接触的位置。 （图片） （图片） 最前面的齿在所谓的外圈负载最严重之处完成接触后，立即进行分析。
在负载最严重之处，承担负载的齿数减少到最低，而且齿的负载条件最苛刻。样品齿轮的总啮合系数大于或等于2，且小于3；因此，负载最严重之处啮合的齿数为2。所以，如前文所述，将独立计算得出的齿1和齿2接触位置上的反作用力相加，可以计算出传输功率。在实际计算过程中，可以确定规定位移量，因此表1 中的预设定负载与根据反作用力之和计算得出的负载相吻合。
对于未修正的齿廓，如图6 中用开口圆标注的位置上的接触应力最大，在这个位置上，啮合线位于齿顶边缘。正如我们在参考资料(例如用无限宽悬梁代替轮齿这种方法来计算啮合线上的负载分布(2)，以及圆筒端面插入平面中的凹口问题(3))中所讨论的那样，在齿顶等粗糙表面上产生的接触应力比周围区域要高。依据齿顶斜面状况的不同，还可能产生更大的应力。但是，由于丝网不够细，还无法处理应力集中问题；因此，齿顶处的应力值不够十分精确。 （图片） 随着齿廓修正量逐渐增加，齿顶的接触应力逐渐减少。如图2 所示，当修正量大约达到当量正齿轮挠曲 δ的1.0-1.5 倍时，齿顶不发生接触。齿顶没有承担的负载向节点方向移动，峰值应力移向齿廓修正起点的周围。
与正齿轮相比，斜齿轮的齿硬度很难获得。但是，与设定负载相符合的齿挠曲量却与当量正齿轮的挠曲具有相当的一致性。尽管该值不够十分精确，但对于齿轮设计来说已经足够了，而且还可以有效计算齿硬度。
3-3 采用PV值来计算齿廓的修正量
接着，我们研究了齿廓修正量与刮伤阻力之间的关系。刮伤是由于摩擦产生热而引起的瞬间油膜破裂现象，一般在齿面上摩擦热达到最大处可能会发生这种现象。PV 值是接触应力和滑行速度的乘积，与单位时间内在齿面上的摩擦力所做的功成比例，所以PV 值经常被用作计算刮伤界限的一项指标。因此，我们采用PV 值作为研究最佳齿廓修正值的指标。
假设环形齿轮速度为40 m/s，将齿面相应的滑行速度与图6 中的接触应力分布值相乘，便可获得图 7 中 (a) - (c)标明的结果。当齿廓修正量小于1.0 δ时，齿顶和齿根的PV 值达到最大。随着修正量的增加，PV 峰值向节点方向移动，而且峰值减少。即使当修正量增加至 1.5 δ或更大时，PV 最大值也只微量减少。（图片） （图片） 图8 对这些结果做了总结。X-轴上的值是用齿廓修正量除以与设定负载一致的当量正齿轮挠曲量得来的，该值被称为修正率。Y-轴代表相同啮合线上的PV 最大值，被称为 PVmax。（图片） 如果从尽力降低PVmax这个角度来考虑齿廓修正量，PVmax 接近最小值时，修正量大约与齿挠曲量相同；进一步修正仅产生轻微的额外影响。不带齿廓修正的PVmax比修正率为1.0-1.5时的值高出2-3 倍，相当于高出负载分布4-9 倍。这个值不能简单地转换成刮伤阻力，因为传递到周围的热量随着齿温的升高而增加。但是，不带齿廓修正的齿轮与带任意修正量的齿轮相比，刮伤阻力有很大差异，这一点我们已经讨论过。
只有在齿轮β30中，修正率达到1.5或更大时，PVmax 才会增加。这是因为齿轮β30 的修正起点离节点最远。随着修正量的增加，峰值接触应力从齿顶移向节点；因此，PVmax 发生的位置也会相应变化。但齿轮之间的峰值接触应力不会有很大差异；发生峰值应力的位置是影响PVmax的主要因素，因此才会导致上述结果。如果修正量进一步增加，齿轮β20 和β10 将显现出类似的趋势。
从上述研究中，我们得出以下结论。如果从刮伤阻力这个角度来确定齿廓修正量的话，1.0修正率就足够了。但是如果考虑到误差以及由于齿顶边缘接触可能导致应力集中等问题(前文已讨论过)，最好采用1.5 修正率。
4. 总结
采用三维有限元方法分析斜齿轮的接触应力，分析齿廓修正对接触应力的影响，我们获得以下结果：
(1) 根据当量正齿轮的齿硬度可以比较精确地计算出斜齿轮的齿硬度。
(2) 齿顶没有承担的负载(由于齿廓修正的原因)移向修正起点的周围。
(3) 如果考虑刮伤阻力，合理的齿廓修正量约为当量正齿轮齿挠曲的1.5 倍。
11/26/2006
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