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摘要：结合虚轴机床的结构特点，运用矢量法推导出了三平动自由度虚轴机床位置正解解析模型，解决了数控系统中位置显示、软限位设置问题。研究成果已成功地应用于一台并联机床样机的开发。
关键词：虚轴机床；并联机器人；位置正解
1 前言
近年来全球机床制造业都在积极探索和研制新型多功能的制造装备与系统，其中在结构技术上取得突破性进展当属90年代问世的虚(拟)轴机床(Virtual Axis Machine Tool)。与实现等同功能的传统数控机床相比，并联机床具有模块化程度高、精度高、重量轻、速度快和造价低等优点。
因而，国际学术界和工程界对研究与开发并联机床非常重视，并于90年代中期美国Ingersoll铣床公司，Giddings & Lewis公司和Hexel公司等相继推出结构各异的产品化样机。目前，我国也将并联机床的研究与开发列入“九五”攻关和“863”高科技发展计划。天津大学在国家自然科学基金、天津市重点基金、教育部“211”工程重点建设项目的资助下，开展新型多功能3-HSS虚(拟)轴机床设计理论、关键技术研究及样机建造工作。
2 机床结构及传动原理
从机床结构图（图1），可以看出虚(拟)轴机床与传统机床的本质区别在于，刀具在操作空间的运动是关节空间线性伺服运动的非线性映射，要实现虚(拟)轴机床的CNC控制，必须建立基于实虚变换的操作空间与关节空间的运动正、逆解模型。其中机床的正解模型比较复杂，其算法效率直接影响到机床的位置显示、软限位的响应时间。本文结合机床的具体构型给出了正解显式表达，并在数控系统中得到了应用。 （图片）
图1 3-HSS型并联机床主进给机构传动原理 如图1所示，3-HSS并联机床(H─螺旋副，S─球面副)的主进给机构采用三自由度并联机构，由动平台和三对立柱─滑鞍─支链组成；每条支链中含三根平行定长杆件，各杆件一端与滑鞍，另一端与动平台用球铰(或虎克铰)连接，滑鞍由伺服电机和滚珠丝杠螺母副驱动，沿安装在立柱上的滚动导轨作上下移动，进而使动平台仅提供沿笛卡儿系三个方向的平动。
3 正解模型
在进行刀具运动控制时，还需要对伺服系统发出的控制指令进行监控，使操作者通过人机界面掌握当前刀具在O-xyz中所处的位置信息，这一点在手动操作中十分重要。为此需要建立并联机构的位置正解模型，即当已知机构尺度参数和伺服系统的控制指令后，确定动平台参考点位置。
考虑到平行四边形支链中各杆运动规律等同，故可在运动学分析时可将原机构简化为如图2所示的等效机构。在工作台台面和动平台上端球铰所在平面形心处分别建立固定参考系O-xyz和连体参考系O-x′y′z′，点O′在系O-xyz下的位矢r=(x y z)T可表示为：（图片）
图2 等效机构示意图 r=bI-aI+qIe3+LwI （图片）I=1，2，3
式中：bI=rb(cos βI sin βI 0)T；
aI=ra(cos βI sin βI 0)T；
aI，bI──点AI和BI在系O-xyz和O-x′y′z′的位置矢量；
ra、rb——动、静平台半径；
βI──点AI和BI在O-xyz和O-x′y′z′下的位置角，且有（图片） wI──支链I的单位矢量；
L──支链杆长；
qI──滑鞍I相对丝杠参考点BI的位移；
e3＝（0 0 1）T。
改写闭环约束方程(1)：
r-(bI-aI)-qIe3=r-r0i-qIe3=LwI
式中：r0i=(bI-aI)=(x0i y0i z0i)T。
两端取模平方，并整理得：
q21-2zq1+(x-x01)2+(y-y01)2+z2-L2=0
q22-2zq2+(x-x02)2+(y-y02)2+z2-L2=0
q23-2zq3+(x-x03)2+(y-y03)2+z2-L2=0
由式(4)-式(3)：
(q22-q21)-2z(q2-q1)－2x(x02-x01)+(x202-x201)－2y（y02-y01)+（y202-y201)=0
及式(4)-式(5)：
(q22-q23)-2z(q2-q3)－2x(x02-x03)+(x202-x203)-2y（y02-y03)+（y202-y203)=0
注意到：（图片） （图片） （图片） （图片） 代入式(6)、式(7)并写成矩阵形式，得：（图片） 利用克来默法则可解出：（图片） （图片） 将式(4)展开并化简得：
q22-2zq2+x2+y2＋z2-2y(rb-ra)+(rb-ra)2-L2=0
将式(9)代入式(10)，得：
Az2+Bz+C=0
式中：（图片） 根据机床的装配模式可解出：（图片） 4 结论
一般来说并联机构的正解模型比较复杂，常用数值解法。我们针对3-HSS虚轴机床的结构特点，推导出其正解模型的显式表达式，解决了数控系统中刀具空间位置显示、软限位设置问题，系统实验表明，模型正确，响应速度快，能够满足数控系统对实时性的要求。
7/14/2004
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