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正确描述滚动轮胎的力学特性是正确分析轮胎式车辆各种动态性能的关键环节。在一般情况下，地面作用于轮胎接地印迹处有3个方向的力Ｐｘ、Ｐｙ、Ｐｚ 和3个方向的力矩Ｍｘ、Ｍｙ、Ｍｚ称为六分力，如图1所示。 （图片） 力Ｐｘ、Ｐｙ、Ｐｚ分别称为纵向力、侧向力和垂直载荷，力矩Ｍｘ 、Ｍｙ、Ｍｚ分别称为侧倾力矩、滚动阻矩和回正力矩。在工程机械领域中，大多数有关轮胎的研究都是对于纵向力和滚动阻矩进行的，因为纵向力和滚动阻矩揭示车辆的牵引性能，而牵引性能是工程机械设计人员关心的首要问题。相对而言， 对于其它物理量的研究则很少。据已查阅到的文献看来，国外对越野轮胎的侧向力和回正力矩已有一些研究[ 1，2 ] ，国内有关内容的研究还未见到。而在汽车领域里，国内、外对于轮胎的力学特性（包括静态、 动态特性）已有了十分深入的研究。文章借鉴汽车领域中有关轮胎力学特性研究成果，对描述轮胎侧向力学特性的2个最重要的物理量——侧向力和回正力矩进行了实验研究；在前人对工程轮胎研究成果的基础上[3]，对工程轮胎的径向力学特性进行了进一步深入研究。
1 基本概念
１．１ 轮胎的侧偏特性
轮胎的侧偏特性是对侧向力和回正力矩的统称，是对轮胎侧偏现象的定量描述。所谓轮胎的侧偏现象是指轮胎速度方向并非永远位于旋转平面内，而是与旋转平面成一定角度，即所谓侧偏角。又由于轮胎侧向弹性和轮胎滚动时与地面接触点的侧向变形是逐渐增加的，因此，轮胎接地印迹上的侧向力并非均匀分布的，印迹上侧向力的合力Ｐｙ并不通过印迹中心，而是偏后一个距离Ｄｘ所谓“拖距”，侧向力Ｐｙ对印迹中心构成一附加力偶ＰｙＤｘ，即轮胎的回正力矩。当车辆改变行驶方向或受有侧向风等侧向力时， 轮胎上就作用有侧向力和回正力矩。
在侧向力小的情况下，可以认为
Ｐｙ＝Ｋβ （１）
系数Ｋ称为轮胎侧偏刚度，β为侧偏角；在侧向力大的情况下，印迹后部已产生局部侧滑，式（１）已不成立，Ｐｙ与β是非线性关系。显然，最大侧向力就是轮胎与地面的最大摩擦力μＰｚ，μ是侧向附着系数，Ｐｚ是轮胎垂直载荷；当Ｐｚ是静载荷时，μＰｚ就是一个常量，此时对应的轮胎力学特性即所谓轮胎静力学特性。
回正力矩与侧偏角的关系通常也是非线性的，即回正力矩先是随着侧偏角的增加而增加，但这种增加不是无限的，当侧偏角越来越大导致印迹完全侧滑时，Ｄｚ变为零，回正力矩也随之变为零。
实际应用时，通常都设为小侧向力情况，此时侧向力与侧偏角成正比，而侧偏角可通过轮胎侧向运动速度ｖｙ与纵向运动速度ｖｘ之比得到，即
β≈tanβ＝≈ （２）
其中Ｖ是车速。故侧向力可以表示为
Ｐ＝ｖ
这表明侧向力的实质是一种阻尼力。
对轮胎侧偏特性已有许多研究，有学者还建立了一些数学模型，但这种特性的认识主要还是依靠实验求得。有关轮胎侧偏特性已有了大量实验，并总结出侧向力半经验公式[ 4 ]
=1－exp（－－Ｅｙ３） （3）
这里无量纲因子＝一般情形下，Ｅｙ是与垂直载荷有关的。回正力矩半经验公式为
Ｍｚ＝ＰｙＤｘ （4）
式中Ｐｙ由式（3）得到，Ｄｘ则由下式得到
Ｄｘ＝Ｄｍｅｘｐ（－Ｄ1－Ｄ2２）＋Ｄｅ０（5）
一般情形下，上式各项系数都是垂直载荷的函数。
１．２ 轮胎的径向力学特性
轮胎的径向变形是与垂直载荷密切相关的。若记轮胎垂直载荷为f，轮胎径向变形为ｘ，则轮胎的径向刚度Ｋｒ可表示为
Ｋｒ＝ （6）
特别是当垂直载荷为常量时，径向变形和径向刚度也为常量。
2 轮胎侧偏特性实验
轮胎侧偏特性实验测试是在长春汽车研究所轮胎静特性试验台上进行的。 如图2所示，所测试的轮胎为吉林大学工程机械实验室ZL10装载机10.00—20轮胎。（图片） 长春汽车研究所轮胎静特性试验台是低速平台式轮胎试验台，结构简图如图3。（图片） 试验台滑台为干水泥台面，以20cm/s速度往复运动，并且滑台可以转过一定角度（模拟侧偏角），上、下导向臂测力环的每个环上贴有2组应变片，横拉杆测力棒上贴有1组应变片，应变片输出的电压信号进入YD15动态应变仪，再经模数转换输入计算机。记上、下导向臂测力环和横拉杆测得的力分别为Ｆd、Ｆf和Ｆe，则侧向力
Ｐｙ＝Ｆｄ＋Ｆｅ＋Ｆｆ
回正力矩
Ｍｚ＝ＦｅＬｅ
其中Ｌｅ为横拉杆至导臂平面的距离。
测试前，在应变仪上将各应变片的输出调整为零。分别测量了560 kPa、680 kPa 二种胎压下的侧向力和回正力矩。对560 kPa胎压， 载荷块所加载荷分别取为3.11 kN、5.93 kN、10.31 kN、11.18 kN和13. 03 kN；对680 kPa胎压，载荷块所加载荷分别取为3.11 kN、5.93 kN、10. 31 kN、11.18 kN和12.18 kN。
3 轮胎侧偏特性实验数据处理与参数识别
将无量纲因子=代入式（3）、（4）得
＝μ眼１－ｅｘｐ（－Ａｔａｎβ－Ｂｔａｎ３β）
Ｄ＝Ｄｅｘｐ（－Ｃｔａｎβ－Ｄｔａｎ２β）＋Ｄ
再利用实验数据对上面表达式在最小二乘意义下拟合，由拟合曲线各项系数即可识别出各个感兴趣的物理量，如
Ｋ＝μＡＰ Ｅ＝
图4（a）、（b）给出2种胎压下轮胎侧向力拟合曲线，（c）、（d）给出2种胎压下轮胎回正力矩曲线。从图中可以看出，当侧偏角充分大时回正力矩变为负值，这表明此时拖距由印迹中心的后面移至印迹中心的前面，与侧向力相比，回正力矩在数量级上小得多。 在车辆操纵性、稳定性分析中，车辆所受的最重要的外力就是侧向力，所以下面的参数识别主要来源于侧向力曲线。当侧偏角充分大时，印迹完全侧滑，侧向力达到最大为侧向滑动摩擦力，由此可以识别出侧向附着系数，得到侧向附着系数后，再利用侧向力半经验公式拟合系数Ａ即可得到轮胎侧偏刚度。（图片） 由实验曲线得到的侧向附着系数和侧偏刚度是有限载荷区间上的离散值，还不能完全描述其在整个载荷轴上的分布情况，根据已经得到的数据，并参考以往其它轮胎侧偏试验结果，发现侧向附着系数总是关于轮胎载荷单调下降的，侧向附着系数与轮胎载荷的关系及侧偏刚度和轮胎载荷之比与轮胎载荷的关系具有如下的一般形式：
ｇ（ｘ）=ａ exp（－ｂｘ） （7）
这里自变量ｘ代表轮胎载荷，因变量ｇ ｘ代表侧向附着系数或侧偏刚度与轮胎载荷之比。 于是侧偏刚度与轮胎载荷的关系可表示为
Ｋ=ａｘ exp（－ｂｘ） （8）
表达式(7)、(8)是经过反复验算得到的，在此之前曾用过其它函数形式，但是都没有此表达式的数值稳定性好。表达式(8)给轮胎载荷变化时的车辆侧向运动分析带来极大方便，只要将轮胎载荷与车辆侧向运动状态表示清楚，即可利用式(8)得到用车辆侧向运动状态表示的轮胎侧偏刚度，再代回运动微分方程统一求解。
图5给出利用式(7)拟合得到的侧向附着系数与轮胎载荷的关系曲线，由此得知，侧向附着系数并非常数，而是随着轮胎载荷、胎压变化的，轮胎载荷越大则侧向附着系数越小，胎压越大则侧向附着系数也越小。（图片） 图6、图7给出利用式(7)、(8)拟合得到的侧偏刚度与轮胎载荷的关系曲线，由此得知，侧偏刚度也是随着轮胎载荷、胎压变化的，轮胎载荷过大或过小都将导致侧偏刚度下降。（图片）（图片） 4 轮胎径向刚度特性
轮胎径向刚度特性也是轮胎力学特性的重要组成部分，在长春汽车研究所轮胎特性试验台上，对轮胎径向刚度特性也作了测试，但由于加载方式是采用施加载荷块，所测得的径向刚度数据很少，难于描述轮胎载荷大范围变化时的径向刚度，特别是微小载荷时的情况，故所测数据没有采用。下面有关轮胎径向刚度的数据来源于文献[3]中赵丁选所作的该轮胎三维动刚度测试中的静态部分，该实验简图如图8，胎压为680 kPa，对其数据重新进行了处理，给出了轮胎径向刚度的一般拟合表达式。（图片） 所采用的轮胎载荷拟合公式如下：
ｗ（ｘ）=ｃｘｄ （9）
这里ｗｘ为轮胎载荷，ｘ为轮胎径向变形。于是轮胎径向刚度可表示为
Ｋ==ｃｄｘ （10）
利用式（9）拟合得到的轮胎载荷与轮胎径向变形关系如图9所示，利用式（10）拟合得到的轮胎径向刚度与轮胎径向变形关系如图10。由此看出，轮胎径向刚度在径向变形较大时（此时轮胎载荷也较大）变化缓慢，此时可将其视为不变的常量（通常的作法也是如此），但在径向变形很小时（此时轮胎载荷也很小）其变化十分剧烈，此时，若仍将其视为常量显然是不恰当的， 而是应视为随径向变形变化而变化的。有时可能希望利用轮胎载荷来表示轮胎径向刚度，由式（9）、（10）得 Ｋ=ｃｄ ｗ （11），这里ｗ为轮胎载荷。
5 结论
文章在汽车轮胎静力学特性研究成果的基础上，对工程轮胎侧偏特性进行了实验测试，并对实验数据作了进一步深入研究。实验结果表明轮胎侧偏特性是随轮胎载荷、胎压变化而变化的，利用轮胎侧偏特性的半经验公式对实验数据进行了处理，由拟合曲线识别出侧偏刚度、侧向附着系数等轮胎重要物理参数，并对侧偏刚度、侧向附着系数给出一般拟合公式，利用该公式可将有限载荷下实验结果推广至整个载荷实轴区间上，从而为利用可变侧偏刚度对整车动态特性建模提供了可能。
文章还对工程轮胎径向力学特性进行了研究。在前人已有的实验数据基础上，对轮胎径向刚度重新进行了拟合处理，发现在微小载荷范围内，径向刚度的变化非常剧烈，此时若将径向刚度视为常量是不恰当的，而应视为随载荷变化而变化的，并给出了径向刚度依径向变形、载荷变化的一般拟合公式，从而为利用可变径向刚度对整车动态特性建模提供了可能。
参考文献
1 D.A. Crolla . Soil Tank Measurments of Tyre Lateraland
Longitudial Tyre Force . J.of.Terramechnics ， 1991 （28）
2 D.A. Crolla ，A.S.A.E.Ei-Razaz， C.J.Alsterad ， C.Hockley . A Model to Predict the Combined Lateral and Longitudinal
Force on an Off-road Tyre， Proc ， 9th ， Int . Conf . ISTVS，
Barcalona .1987
3 赵丁选，诸文农，张子达等. 工程轮胎三维动刚度
与阻尼的测试 . 中国公路学报，1990 （ 7）
4 郭孔辉 .汽车操纵动力学. 长春：吉林科学技术出版 社，1991
通信地址：长春市人民大街7645号空军长春飞行学院力
学教研室（１３００２２）
原载《工程机械》2004年第07期，文中公式遗漏，请包涵。
12/20/2005
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