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1 引言
球头立铣刀是加工模具和复杂型面的重要刀具，也是数控铣床、加工中心等数控设备最常用的刀具。随着数控技术的广泛采用，该类刀具的需求量不断增加。S形刃球头立铣刀与平前刀面球头立铣刀相比有易排屑、耐磨损、加工质量好等优点。已有学者对几种类型的球头铣刀进行了研究，本文针对S形单切削刃球头立铣刀(见图1)的数学模型进行研究。 （图片）
图1 S形刃球头立铣刀 2 前刀面数学模型
前刀面由内前刀面和外前刀面两部分组成。前刀面与球面的交线是理论切削刃。
1) 内前刀面
内前刀面是锥面的一部分，该锥面的锥轴线平行于铣刀轴线，与球的交线形成图2中AB段切削刃。建立如图2所示坐标系。（图片）
图2 内前刀面数学模型坐标系 坐标系OXYZ：O点为球心，Z轴为铣刀轴线，XOY平面为基本平面。Y轴由X、Z轴右手法则确定，这样确立的切削刃在第一象限。
坐标系O1X1Y1Z1：O1点过球顶点(刀尖)，且是XOY面的平行平面与锥轴线Z1的交点，X1、Y1、Z1轴分别平行于X、Y、Z轴，其中Z1轴是锥轴线。
图2中主要变量说明：
r为在X1O1Y1平面内刀尖到O1的距离，是锥半径。Dx为调整参数，以保证切削刃过球顶点。Dy为调整参数，以保证切削刃最高点到XOZ平面的距离。h为变量，确定最高点位置，且保证在最高点处切削刃光滑过渡。
从图2中可以看出，OXYZ和O1X1Y1Z1两坐标系之间换算关系为（图片） 半径为R的球在OXYZ坐标系中方程为x2+y2+z2=R2 在X1O1Y1Z1坐标系中，锥面初始母线的方程为rs1=r1+l 在图2中
r1={-rsin(η) rcos(η) 0}
l={-lsin(φ)sin(η) -lsin(φ)cos(η) lcos(φ)}
式中l、(η)为变量，(φ)是锥半角。
则（图片） 在O1X1Y1Z1坐标系中，初始母线rs1绕Z1轴旋转形成锥面，设向径为rE1，转角为β，则（图片） 把rE1转换到OXYZ坐标中，则内前刀面方程为（图片） 其中h、b、l为变量，且
b∈[0,(p/2)-h+arcsin(Dy-R)]
2) 外前刀面
外前刀面是有径向前角gr和轴向前角ga的平面，此平面与内前刀面相切，其和球相交形成图2中BC段理论切削刃。建立图3坐标系，图中OXYZ坐标系和图2中OXYZ坐标系一样。外前刀面过球面切削刃的最高点B点。B点坐标的确定要保证切削刃在B点光滑过渡，即保证AB段切削刃和BC段切削刃在B点有相同的螺旋角。（图片）
图3 外前刀面数学模型坐标系 这样，平前刀面的两个方向向量为ga和gr，其中
| ga={0 -sin(ga) -cos(ga)} | (9) |
| gr={cos(gr) sin(gr) 0} | (10) |
所以平前刀面的法向量为（图片） 设平面上任一点为P(x，y，z)，B(xk，yk，zk)，则外前刀面方程为(P-B)N=0
即
| sin(gr)cos(ga)x-cos(gr)cos(ga)y+cos(gr)sin(ga)z=sin(gr)cos(ga)xk-cos(gr)cos(ga)yk+cos(gr)sin(ga)zk=h |
| (13) |
3 后刀面数学模型
后刀面由螺旋部分和平面部分组成。
1) 后刀面螺旋部分
建立图4坐标系，图中OXYZ坐标系和图2中OXYZ坐标系相同。O2X2Y2Z2坐标系的原点O2在OXYZ坐标系中的坐标为(d，0，0)，Y2、Z2轴分别与Y、Z轴平行，X2轴和X轴重合。（图片）
图4 后刀面螺旋部分数学模型坐标系 坐标系OXYZ和O2X2Y2Z2之间换算关系为（图片） (14) 后刀面螺旋部分是初始直线CF(在XOY平面内)绕Y2轴旋转同时绕Z轴旋转形成的螺旋面。C点在球面上，是切削刃的初始点，在OXYZ中坐标为(XC，YC，0)。
直线CF上任一点mc在OXYZ中方程为rmc=(xc l 0) 式中l为变量。Xc确定了初始直线的位置，同时也确定了砂轮的初始位置，其值可由理论切削刃和XOY平面交点确定。
CF转换到坐标系O2X2Y2Z2中方程为rmc2=(xc-d l 0) 在O2X2Y2Z2坐标系中，CF绕Y2轴旋转。设转角为q，向径为rm2，所以（图片） (17) 把rm2转换到OXYZ坐标系中，设向径为rm（图片） (18) 在坐标系OXYZ中rm绕Z轴旋转形成了后刀面螺旋部分。设转角为F，向径为r，则后刀面螺旋部分方程为（图片） (19) 其中q、F、l为变量，按右手法则，F应取负值，d为调整参数，xc为定值。
磨刀时，q和F的实际意义是：q为砂轮绕某轴线的转角，而此轴线要通过调整d确定。F对应与铣刀的自转角，为使切削刃在球面上，q和F之间应有一定的关系。
2) 后刀面平面部分
建立图5坐标系，图中OXYZ坐标系和图2(见图4)中OXYZ坐标系相同。后刀面平面部分过切削刃的最高点B点(xk，yk，zk)，且与后刀面螺旋部分光滑过渡(相切)。（图片）
图5 后刀面平面部分数学模型坐标系 平后刀面上的两个方向向量为
| aq=[-sin(qmax) 0 cos(qmax)]aF=[-sin(Fmax) -cos(qmax) 0] | (20) |
式中：qmax——螺旋后刀面q的最大值；Fmax——螺旋后刀面F的最大值，qmax和Fmax如图4所示。
则平后刀面的法向量为（图片）(21) 设后刀面平面上任一点P的向径为rp，则后刀面平面部分方程为：(rp-rB)n =0 即
| cos(qmax)cos(Fmax)x-cos(qmax)sin(Fmax)y+sin(qmax)cos(Fmax)z=cos(qmax)cos(Fmax)xk-cos(qmax)sin(Fmax)yk+sin(qmax)cos(Fmax)zk=T |
| (23) |
其中由Fmax由qmax确定，而Fmax由xk、yk、zk确定。
4 实际切削刃
实际切削刃由两部分组成，外前刀面和螺旋后刀面形成图2所示BC段切削刃，内前刀面和平面后刀面部分形成图2所示的AB段切削刃。实际切削刃由前、后刀面形成，但要保证在球面上，同时保证两段切削刃在B点光滑过渡，这样就要利用数学模型通过调整一系列参数Dx、Dy、r、f、gr、ga、d、qmax来实现。
5 结语
本文建立了S形刃球头立铣刀前、后刀面的数学模型。数学模型的建立为球头铣刀刃磨参数的选择及刃磨装置的设计具有重要的作用。
切削技术网站
8/11/2005
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